Parties équicontinues

(i) Pour $\varepsilon > 0$ et $x \in K$, chacune des fonctions $f_1, \dots, f_m$ fournit un $\delta_j$ (Topologie d'une distance, (iv)), et le plus petit d'entre eux convient pour toutes ; si $K$ est compact, chaque $f_j$ est uniformément continue (Théorème de Heine), et le même argument vaut avec un $\delta_j$ indépendant de $x$. Ces choix sont en nombre fini.

(ii) Si $d(x, y) < \varepsilon/(k + 1)$, alors $\|f(x) - f(y)\|_\infty \leqslant k\,d(x, y) < \varepsilon$ pour toute $f$ $k$-lipschitzienne.

(iii) On peut supposer $K$ non vide. Soit $\varepsilon > 0$, et $\mathcal U$ la famille de tous les ouverts $V$ de $K$ tels que $\|f(y) - f(z)\|_\infty \leqslant \varepsilon$ pour toute $f \in A$ et tous $y, z \in V$.

Elle recouvre $K$. En effet, si $x \in K$, l'équicontinuité en $x$, avec $\frac\varepsilon2$, fournit $\delta > 0$, et pour $y, z \in B(x, \delta)$, $$\begin{aligned} &\|f(y) - f(z)\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|f(y) - f(x)\|_\infty + \|f(x) - f(z)\|_\infty \\ &\quad < \varepsilon : \end{aligned}$$ la boule $B(x, \delta)$, ouverte, appartient à $\mathcal U$.

Soit $\eta$ un nombre de Lebesgue de $\mathcal U$ (Nombre de Lebesgue). Si $d(x, y) < \eta$, la partie $\{x, y\}$, de diamètre $< \eta$, est contenue dans un élément de $\mathcal U$, d'où $\|f(x) - f(y)\|_\infty \leqslant \varepsilon$ pour toute $f \in A$.

(iv) Soit $x_0 \in [0, 1[$ et $c = \frac{1 + x_0}2 < 1$. Pour $x, y \in [0, c]$, l'identité $x^n - y^n = (x - y)\sum_{j < n} x^j y^{n-1-j}$ donne $$|x^n - y^n| \leqslant n c^{n-1} |x - y|,$$ et la suite $(nc^{n-1})$ est bornée, par un réel $k$. En effet, pour $n \geqslant 1$, le quotient de deux termes consécutifs, $\frac{n+1}{n}c$, est au plus $\frac{1 + c}2 < 1$ dès que $n \geqslant \frac{2c}{1 - c}$ : la suite est décroissante à partir du rang $N = \lceil \frac{2c}{1 - c} \rceil$, donc majorée par le plus grand de ses termes d'indice au plus $N$. Sur $[0, c]$, les fonctions $x \mapsto x^n$ sont donc toutes $k$-lipschitziennes, et l'on conclut par (ii), avec $\delta$ au plus $c - x_0$ pour rester dans $[0, c]$.

En $1$, prenons $\varepsilon = \frac12$ et $\delta \in \,]0, 2[$, ce qu'on peut toujours supposer en diminuant $\delta$. Le point $y = 1 - \frac\delta2$ est dans $[0, 1]$, à distance $< \delta$ de $1$, et $y^n \to 0$ (Limites infinies) : pour $n$ assez grand, $|1^n - y^n| > \frac12$. Aucun $\delta$ ne convient pour toute la famille.