Lemme 1Espaces de fonctions continues

Parties précompactes de C(K, ℝᵖ)

Énoncé

Soit $K$ un espace métrique compact et $A$ une partie de $C(K, {\mathbb R^p})$ , muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ .

(i) Si $A$ est précompacte, elle est bornée et uniformément équicontinue.

(ii) Si $A$ est bornée et équicontinue, elle est précompacte. Plus précisément, soit $\varepsilon > 0$ , $M$ un majorant des $\|f\|_\infty$ pour $f \in A$ , $\eta$ associé à $\varepsilon$ par le point (iii) du nœud Équicontinuité, et $x_1, \dots, x_m$ des points de $K$ tels que $K$ soit la réunion des boules $B(x_i, \eta)$ . Alors $A$ est contenue dans la réunion d'un nombre fini de boules de rayon $4\varepsilon$ centrées en des éléments de $A$ .

Démonstration

(i) Soit $\varepsilon > 0$ et $g_1, \dots, g_m$ des éléments de $C(K, \mathbb R^p)$ tels que $A$ soit contenue dans la réunion des boules $B(g_j, \varepsilon)$ . Toute $f \in A$ vérifie $\|f\|_\infty < \varepsilon + \max_j \|g_j\|_\infty$ : $A$ est bornée.

La famille finie des $g_j$ est uniformément équicontinue (Équicontinuité, (i)) : il existe $\eta > 0$ tel que $d(x, y) < \eta$ entraîne $\|g_j(x) - g_j(y)\|_\infty < \varepsilon$ pour tout $j$ . Pour $f \in A$ , soit $j$ tel que $\|f - g_j\|_\infty < \varepsilon$ ; alors $\begin{aligned} &\|f(x) - f(y)\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|f(x) - g_j(x)\|_\infty \\ &\qquad + \|g_j(x) - g_j(y)\|_\infty \\ &\qquad + \|g_j(y) - f(y)\|_\infty < 3\varepsilon. \end{aligned}$

(ii) Les points $x_i$ existent : les boules $B(x, \eta)$ , $x \in K$ , recouvrent le compact $K$ , et un nombre fini d'entre elles suffit. Si $K$ est vide, $A$ a au plus un élément et il n'y a rien à démontrer.

Par la propriété d'Archimède, tout réel $t$ tel que $|t| \leqslant M$ est à distance au plus $\frac\varepsilon2$ d'un multiple $j\varepsilon$ , avec $j \in {\mathbb Z}$ et $|j\varepsilon| \leqslant M + \varepsilon$ . Notons $G$ l'ensemble fini des points de $\mathbb R^p$ dont les coordonnées sont de tels multiples : tout point $v$ de $\mathbb R^p$ tel que $\|v\|_\infty \leqslant M$ est à distance au plus $\frac\varepsilon2$ d'un point de $G$ .

Pour $c = (c_1, \dots, c_m) \in G^m$ , soit $A_c$ l'ensemble des $f \in A$ telles que $\|f(x_i) - c_i\|_\infty \leqslant \frac\varepsilon2$ pour tout $i$ . Ces parties sont en nombre fini, et elles recouvrent $A$ , puisque chaque $f(x_i)$ est à distance au plus $\frac\varepsilon2$ d'un point de $G$ .

Sur

K = [0, 1]

, recouvert par les boules de rayon

\eta = 0{,}15

centrées en

x_1, \dots, x_4

(pointillés, sous les courbes), et pour

\varepsilon = 0{,}2

, deux fonctions

f

(bleu) et

g

(vert) d'une même partie

A_c

passent, en chaque

x_i

, dans le même intervalle de longueur

\varepsilon

(rouge), centré en un point

c_i

de la grille

\varepsilon\mathbb Z

. L'équicontinuité les empêche de s'écarter beaucoup entre deux points

x_i

: elles restent à distance au plus

3\varepsilon

l'une de l'autre sur tout le segment.

Soient $f, g \in A_c$ et $x \in K$ , et $i$ tel que $d(x, x_i) < \eta$ . Alors $\begin{aligned} &\|f(x) - g(x)\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|f(x) - f(x_i)\|_\infty + \|f(x_i) - c_i\|_\infty \\ &\qquad + \|c_i - g(x_i)\|_\infty + \|g(x_i) - g(x)\|_\infty \\ &\quad \leqslant \varepsilon + \tfrac\varepsilon2 + \tfrac\varepsilon2 + \varepsilon = 3\varepsilon. \end{aligned}$

Pour chaque $c$ tel que $A_c$ ne soit pas vide, prenons un élément $g_c$ de $A_c$ ; ces choix sont en nombre fini. Toute $f \in A$ appartient à l'un des $A_c$ , et $\|f - g_c\|_\infty \leqslant 3\varepsilon < 4\varepsilon$ . Comme $\varepsilon$ est arbitraire, $A$ est précompacte.

□

Remarque

Le lemme ne fait que des choix en nombre fini, pour un $\varepsilon$ donné : un sous-recouvrement fini de $K$ , puis un élément de chaque partie $A_c$ non vide. Il ne choisit pas de réseau pour une suite de rayons, ce qui demanderait le choix dénombrable.

Remarque

Le mécanisme est celui de la dimension finie. L'équicontinuité ramène une fonction de $A$ , à $\varepsilon$ près, au vecteur $(f(x_1), \dots, f(x_m))$ de ses valeurs en un nombre fini de points, et le caractère borné place ce vecteur dans une partie bornée de $(\mathbb R^p)^m$ , que la grille $G^m$ découpe en un nombre fini de morceaux.

Repose sur

Parties équicontinues

Sert à

Théorème d'Ascoli