Opérateurs compacts ⋆

(i) Soit $u$ compact et $K$ l'adhérence de $u(\bar B_E)$. Les boules $B(0, k)$, pour les entiers $k \geqslant 1$, recouvrent $F$ par la propriété d'Archimède ; un nombre fini d'entre elles recouvre le compact $K$, qui est donc contenu dans la plus grande, $B(0, k)$. Ainsi $\|u(x)\| < k$ pour $\|x\| \leqslant 1$, et $u$ est continu (Opérateurs continus, (i)).

Si $A \subset E$ est bornée, elle est contenue dans une boule fermée de centre $0$ et de rayon $r > 0$, et $u(A) \subset r\,u(\bar B_E) \subset rK$. L'homothétie $y \mapsto ry$ est continue, donc $rK$ est compact (Parties compactes, (iii)), et fermé dans $F$, qui est séparé (même nœud, (ii)). L'adhérence de $u(A)$ est ainsi une partie fermée de $rK$, donc compacte (même nœud, (i)).

Soit enfin $u$ continu de rang fini, et $G = \operatorname{Im} u$. La partie $L = \{y \in G : \|y\| \leqslant |||u|||\}$ est fermée et bornée dans l'espace normé $G$, de dimension finie : elle est compacte (Équivalence des normes, (iv)), pour la topologie que $G$ induit, qui est aussi celle que $F$ induit sur $L$. Elle contient $u(\bar B_E)$, et elle est fermée dans $F$ (Parties compactes, (ii)) : l'adhérence de $u(\bar B_E)$ est une partie fermée de $L$, donc compacte.

(ii) Soit $Y$ l'adhérence de $u(\bar B_E)$, fermée dans l'espace complet $F$. Construisons, pour chaque $j \in {\mathbb N}$, un 2^{-j-1}-réseau fini de $u(\bar B_E)$ : par le point (i) du nœud Parties précompactes, ce sera un $2^{-j}$-réseau de $Y$, et le point (ii) du même nœud montrera que $Y$ est compacte.

Fixons $j$, soit $k$ le plus petit entier tel que $|||u - u_k||| < 2^{-j-2}$, et notons $v = u_k$. En retenant, parmi les $b_{k,i}$ pris dans l'ordre, ceux qui n'appartiennent pas au sous-espace engendré par les précédents retenus, on obtient une famille $(c_1, \dots, c_d)$, libre par Familles libres, bases, (iv). Chaque $b_{k,i}$ écarté est dans le sous-espace engendré par les précédents retenus, si bien que la famille retenue engendre le même sous-espace $G$ que les $b_{k,i}$ : c'est une base de $G$. Si $d = 0$, alors $v = 0$, et le seul point $0$ forme un $2^{-j-1}$-réseau de $u(\bar B_E)$.

Si $d \geqslant 1$, les coordonnées dans la base $(c_i)$ sont des formes linéaires sur $G$, continues (Équivalence des normes, (iv)). Il existe donc un réel $C$ tel que les coordonnées $\beta_1, \dots, \beta_d$ de $v(x)$ vérifient $|\beta_i| \leqslant C$ pour $\|x\| \leqslant 1$ : le produit de $|||v|||$ et de la plus grande des normes de ces formes convient. Posons $S = \|c_1\| + \cdots + \|c_d\|$ et $\delta = 2^{-j-2}/S$, et considérons les points $$g = \sum_{i = 1}^d n_i \delta\, c_i,$$ où les $n_i$ sont des entiers relatifs tels que $|n_i| \delta \leqslant C + \delta$. Ils sont en nombre fini, et on les range dans l'ordre lexicographique des $(n_1, \dots, n_d)$.

Pour $\|x\| \leqslant 1$, prenons pour $n_i$ la partie entière de $\beta_i/\delta$, qui existe parce que $\mathbb R$ est archimédien. Alors $|\beta_i - n_i\delta| < \delta$ et $|n_i|\delta \leqslant C + \delta$, si bien que le point $g$ correspondant vérifie $$\begin{aligned} \|v(x) - g\| &\leqslant \sum_i |\beta_i - n_i\delta|\,\|c_i\| \\ &< \delta S = 2^{-j-2}. \end{aligned}$$ Comme $\|u(x) - v(x)\| < 2^{-j-2}$, on a $\|u(x) - g\| < 2^{-j-1}$ : ces points forment un $2^{-j-1}$-réseau de $u(\bar B_E)$, défini sans aucun choix à partir des données.

(iii) Soit $u$ limite d'une suite $(u_k)$ d'opérateurs compacts, et $Y$ l'adhérence de $u(\bar B_E)$. Pour chaque $j$, soit $k$ le plus petit entier tel que $|||u - u_k||| < 2^{-j-2}$. L'adhérence de $u_k(\bar B_E)$ est compacte, donc précompacte (Parties précompactes, (i)) : elle a un $2^{-j-2}$-réseau fini, que l'on choisit.

Tout point de $u(\bar B_E)$ est à distance $< 2^{-j-2}$ d'un point de $u_k(\bar B_E)$, donc à distance $< 2^{-j-1}$ d'un point du réseau : celui-ci est un $2^{-j-1}$-réseau de $u(\bar B_E)$, donc un $2^{-j}$-réseau de $Y$ (Parties précompactes, (i)). Le point (ii) du même nœud montre que $Y$ est compacte.