Espaces de Hilbert et théorème de projection ⋆

(i) L'inégalité de Cauchy-Schwarz et le fait que $\|\cdot\|$ soit une norme sont les points (iii) et (iv) du nœud Produit scalaire. Le parallélogramme s'obtient en ajoutant les développements de $\|x + y\|^2$ et de $\|x - y\|^2$ que donne le point (ii) du même nœud.

(ii) Soit $d = d(x, C)$, et choisissons $y_n \in C$ tels que $\|x - y_n\|^2 \leqslant d^2 + \frac1{n+1}$. Par le parallélogramme appliqué à $x - y_n$ et $x - y_m$, et puisque $\frac{y_n + y_m}2 \in C$ par convexité, $$\begin{aligned} \|y_n - y_m\|^2 &= 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 \\ &\quad - 4\Big\|x - \frac{y_n + y_m}{2}\Big\|^2 \\ &\leqslant \frac{2}{n+1} + \frac{2}{m+1}. \end{aligned}$$ La suite est de Cauchy, converge vers un $p$ qui est dans $C$, fermé, et $\|x - p\| = d$ par continuité de la norme.

Le même calcul, appliqué à deux points réalisant la distance, montre qu'ils sont égaux.

Pour $y \in C$ et $t \in \,]0, 1]$, $p + t(y - p) \in C$, d'où $$\begin{aligned} \|x - p\|^2 &\leqslant \|x - p - t(y - p)\|^2 \\ &= \|x - p\|^2 - 2t\langle x - p, y - p \rangle \\ &\quad + t^2\|y - p\|^2 ; \end{aligned}$$ en divisant par $t$ et en faisant tendre $t$ vers $0$, $\langle x - p, y - p \rangle \leqslant 0$.

Réciproquement, cette inégalité donne $$\begin{aligned} \|x - y\|^2 &= \|x - p\|^2 - 2\langle x - p, y - p \rangle \\ &\quad + \|y - p\|^2 \\ &\geqslant \|x - p\|^2. \end{aligned}$$

(iii) Pour un sous-espace, on applique la caractérisation à $y = p \pm z$, $z \in F$ : $\langle x - p, z \rangle = 0$, donc $x - p \in F^\perp$. Réciproquement, un $p \in F$ tel que $x - p \in F^\perp$ vérifie la caractérisation : c'est la projection.

La linéarité en découle, puisque $\alpha p_F(x) + \beta p_F(y)$ vérifie cette condition pour $\alpha x + \beta y$. On a $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ et $F \cap F^\perp = \{0\}$.

Enfin $F \subset F^{\perp\perp}$, et si $x \in F^{\perp\perp}$, $x - p_F(x)$ est à la fois dans $F^\perp$ et dans $F^{\perp\perp}$, donc orthogonal à lui-même, et nul.

(iv) Soit $d = d(x, C)$ et, pour $n \geqslant 1$, $$C_n = \Big\{y \in C : \|x - y\|^2 \leqslant d^2 + \frac1n\Big\}.$$ Ces parties sont fermées dans $H$, et dans $C$, par continuité de la norme ; elles sont non vides, par définition de la borne inférieure, et décroissantes.

Pour $y, y' \in C_n$, le calcul de (ii), où $\big\|x - \frac{y + y'}2\big\| \geqslant d$ par convexité, donne $\|y - y'\|^2 \leqslant \frac4n$ : le diamètre de $C_n$ tend vers $0$. Le théorème des fermés emboîtés, sous sa forme sans choix (Espaces complets, (v)), appliqué dans $H$ ou dans $C$ selon le cas, montre que les $C_n$ ont un point commun $p$. Il appartient à $C$ et vérifie $\|x - p\|^2 \leqslant d^2 + \frac1n$ pour tout $n$, donc $\|x - p\| = d$.

Aucune suite n'a été choisie. La suite de la démonstration de (ii), qui établit l'unicité et la caractérisation, et celle de (iii), ne font aucun choix. Ni ces démonstrations ni la construction de $p$ dans le second cas n'emploient la complétude de $H$ : seuls y servent le produit scalaire et, par le théorème des fermés emboîtés, la complétude de $C$. Dans ce second cas, $C$ est fermé dans $H$, sans recourir aux suites : si $x$ est adhérent à $C$, alors $d = 0$, et $x = p \in C$.