Définition 3Espaces métriques et normés

Normes et topologie associée

Une norme sur un ${\mathbb R}$ -espace vectoriel $E$ est une application $N : E \to [0, +\infty[$ telle que, pour tous $x, y \in E$ et $\lambda \in \mathbb R$ , $N(x) = 0$ entraîne $x = 0$ , $N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x)$ et $N(x + y) \leqslant N(x) + N(y)$ .

La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est $B(a, r) = \{x \in E : N(x - a) < r\}$ : c'est la boule ouverte de la distance $d(x, y) = N(x - y)$ du point (i).

Une partie $C$ de $E$ est convexe si $(1 - t)x + ty \in C$ pour tous $x, y \in C$ et tout $t \in [0, 1]$ . Une boule ouverte est convexe : si $N(x - a) < r$ et $N(y - a) < r$ , alors $N\big((1 - t)x + ty - a\big) \leqslant (1 - t)N(x - a) + tN(y - a) < r$ .

Sur ${\mathbb R^n}$ , on dispose de $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$ , de $\|x\|_1 = \sum_i |x_i|$ et de $\|x\|_2 = \big(\sum_i x_i^2\big)^{1/2}$ .

Ce sont des normes : l'homogénéité est immédiate pour $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_1$ , et pour $\|\cdot\|_2$ elle vient de l'unicité de la racine carrée (Espaces métriques, (i)), $|\lambda|\,\|x\|_2$ étant positif de carré $\lambda^2\sum_i x_i^2$ ; de plus la distance $(x, y) \mapsto \|x - y\|$ associée à chacune est la distance $d_\infty$ , $d_1$ ou $d_2$ du nœud Espaces métriques, dont l'inégalité triangulaire donne celle de la norme, puisque $\begin{aligned} \|x + y\| &= d(x, -y) \\ &\leqslant d(x, 0) + d(0, -y). \end{aligned}$ On les note souvent $\|\cdot\|$ quand le choix est indifférent.

Énoncé

Soit $N$ une norme sur $E$ .

(i) $d(x, y) = N(x - y)$ est une distance, qui fait de $E$ un espace métrique et vérifie $d(x + z, y + z) = d(x, y)$ et $d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|\, d(x, y)$ . On munit $E$ de la topologie associée à cette distance, dite associée à $N$ : une partie $O$ est ouverte si et seulement si, pour tout $a \in O$ , il existe $r > 0$ tel que $B(a, r) \subset O$ ; les boules ouvertes en forment une base, et elle est séparée.

(ii) La topologie associée à $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^n$ est la topologie produit de $n$ copies de $\mathbb R$ .

(iii) Soient $E$ et $F$ deux espaces normés, $A \subset E$ muni de la topologie induite, $f : A \to F$ et $a \in A$ . L'application $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in A, \\ \|x - a\| < \delta \ \Longrightarrow\ \|f(x) - f(a)\| < \varepsilon. \end{gathered}$

Démonstration

(i) $d(x, y) = 0$ entraîne $x = y$ ; $d(y, x) = N(-(x - y)) = |-1|\,N(x - y) = d(x, y)$ ; l'inégalité triangulaire de $d$ est celle de $N$ appliquée à $(x - y) + (y - z)$ .

Les deux égalités viennent de $(x + z) - (y + z) = x - y$ et de l'homogénéité. Le reste est le nœud Topologie d'une distance, (i).

(ii) La distance associée à $\|\cdot\|_\infty$ est $d_\infty$ , et c'est le nœud L'espace ℝⁿ, (i).

(iii) La topologie induite sur $A$ est celle de la distance induite, et c'est le critère de continuité du nœud Topologie d'une distance, (iii) et (iv).

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Remarque

Une norme est déterminée par sa boule unité, qui est convexe et symétrique. Pour $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^2$ , c'est un carré ; pour $\|\cdot\|_1$ , un losange.

En notant

B_1

B_\infty

les boules de

\|\cdot\|_1

et de

\|\cdot\|_\infty

, la boule unité de la première (losange rouge) et celle de la seconde (carré bleu) n'ont pas la même forme, mais elles s'emboîtent :

B_1(0, 1) \subset B_\infty(0, 1) \subset B_1(0, 2)

, cette dernière en pointillé. Cet encadrement traduit

\|x\|_\infty \leqslant \|x\|_1 \leqslant 2\|x\|_\infty

, et c'est lui qui rend les deux topologies égales.

Le nœud suivant montre que ces différences de forme sont sans effet sur la topologie.

Remarque

Toutes les distances ne proviennent pas d'une norme : la distance discrète sur $\mathbb R^n$ , $n \geqslant 1$ , n'est pas homogène, puisque $d(2x, 0) = d(x, 0) = 1$ pour $x \neq 0$ , alors qu'une distance issue d'une norme vérifierait $d(2x, 0) = 2\, d(x, 0)$ .

Repose sur

ℝⁿ : topologie produit, complétude, compacts Algèbre linéaire

Sert à

Normes en dimension finie Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz