Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

(i) Les sommes finies sont additives et commutent à la multiplication par un réel (Combinaisons linéaires, (ii)) : l'expression est linéaire en $x$. Elle est symétrique, puisque $x_iy_i = y_ix_i$, et donc linéaire en $y$ aussi.

Si $x \neq 0$, l'une des coordonnées, $x_j$, n'est pas nulle, et $x_j^2 > 0$. Les autres termes $x_i^2$ sont des carrés, donc positifs, et la somme $\sum_i x_i^2$ est strictement positive.

La fonction associée est $x \mapsto \big(\sum_i x_i^2\big)^{1/2}$, qui est $\|{\cdot}\|_2$ par définition. Enfin, par la définition du produit des matrices, l'unique coefficient de ${}^tX\,Y$ est $\sum_k x_k y_k$.

(ii) Par linéarité en chaque variable, $\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle$, et la symétrie réunit les deux termes du milieu.

De même $\|\lambda x\|^2 = \lambda^2 \|x\|^2$. Le réel $|\lambda|\,\|x\|$ est positif et a ce même carré ; par l'unicité de la racine carrée (Espaces métriques, (i)), il est égal à $\|\lambda x\|$.

(iii) Si $y = 0$, les deux membres sont nuls, puisque $\langle x, 0 \rangle = 0$ par linéarité, et $y = 0 \cdot x$ est colinéaire à $x$. Supposons désormais $y \neq 0$, de sorte que $\|y\|^2 > 0$, et posons $$t = \frac{\langle x, y \rangle}{\|y\|^2}, \qquad p = ty, \qquad q = x - p.$$

Le vecteur $q$ est orthogonal à $y$, puisque $\langle q, y \rangle = \langle x, y \rangle - t\,\|y\|^2 = 0$, donc aussi à $p$, car $\langle q, p \rangle = t\,\langle q, y \rangle$. Le théorème de Pythagore, (ii), appliqué à $x = p + q$, donne alors, avec $\|p\|^2 = t^2\|y\|^2$, $$\|x\|^2 = \frac{\langle x, y \rangle^2}{\|y\|^2} + \|q\|^2.$$

En multipliant par $\|y\|^2 > 0$, on obtient $$\|x\|^2\|y\|^2 - \langle x, y \rangle^2 = \|q\|^2\,\|y\|^2 \geqslant 0.$$

Les réels positifs $|\langle x, y \rangle|$ et $\|x\|\,\|y\|$ ont pour carrés $\langle x, y \rangle^2$ et $\|x\|^2\|y\|^2$ ; la racine carrée étant croissante (Espaces métriques, (i)), le premier est au plus le second.

Deux réels positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés le sont, par l'unicité de la racine carrée (Espaces métriques, (i)). L'égalité a donc lieu si et seulement si $\|q\|^2\|y\|^2 = 0$, c'est-à-dire $\|q\| = 0$, puisque $\|y\| > 0$, ou encore $q = 0$, soit $x = ty$. Si c'est le cas, $x$ et $y$ sont colinéaires.

Réciproquement, supposons $x$ et $y$ colinéaires, avec $y \neq 0$, et montrons que $x = \lambda y$ pour un réel $\lambda$. Premier cas : $x$ est le produit de $y$ par un réel, et c'est l'hypothèse. Second cas : $y = \mu x$ pour un réel $\mu$ ; alors $\mu \neq 0$ puisque $y \neq 0$, et $\lambda = \mu^{-1}$ convient. Dans les deux cas, $\langle x, y \rangle = \lambda\,\|y\|^2$, d'où $t = \lambda$ et $q = x - \lambda y = 0$ : il y a égalité.

(iv) La fonction $\|{\cdot}\|$ est à valeurs dans $[0, +\infty[$, et $\|x\| = 0$ entraîne $\langle x, x \rangle = 0$, donc $x = 0$. L'homogénéité est le point (ii). Par (ii), puis par (iii), $$\begin{aligned} \|x + y\|^2 &\leqslant \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 \\ &= \big(\|x\| + \|y\|\big)^2, \end{aligned}$$ et la croissance de la racine carrée donne $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$.