Critère des mineurs principaux

Notons $q(x) = {}^tXAX$, de forme polaire $b$, $(\delta_1, \dots, \delta_n)$ la base canonique de $\mathbb R^n$, notée comme au nœud Formes quadratiques (la lettre $\varepsilon$ est réservée au scalaire de (ii)), et $E_S$ le sous-espace engendré par les $\delta_i$, $i \in S$. Comme $b(\delta_i, \delta_j) = a_{ij}$, la matrice de la restriction de $b$ à $E_S$, dans la base $(\delta_i)_{i \in S}$, est $A_S$.

(i) Condition nécessaire. Si $A$ est définie positive, la restriction de $q$ à $E_{\{1, \dots, k\}}$ l'est aussi, et son déterminant $\Delta_k$ est strictement positif (Formes positives, (v)).

Condition suffisante. Par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, $q(x) = a_{11} x_1^2$ avec $a_{11} = \Delta_1 > 0$. Soit $n \geqslant 2$, et $F = E_{\{1, \dots, n-1\}}$. Les mineurs principaux dominants de $A_{\{1, \dots, n-1\}}$ sont $\Delta_1, \dots, \Delta_{n-1}$ : par l'hypothèse de récurrence, la restriction de $q$ à $F$ est définie positive, donc non dégénérée (Formes positives, (ii)).

Ainsi $E = F \oplus F^\perp$ (Orthogonalité, (iii)), et $F^\perp$ est de dimension $n - (n - 1) = 1$ par la formule de Grassmann : c'est une droite, engendrée par un vecteur $v$. Dans la base $(\delta_1, \dots, \delta_{n-1}, v)$, la matrice $M$ de $b$ a pour bloc $A_{\{1, \dots, n-1\}}$, une dernière colonne et une dernière ligne nulles sauf le coefficient $q(v)$, puisque $b(\delta_i, v) = 0$.

En développant suivant la dernière colonne (Comatrice), $\det M = q(v)\,\Delta_{n-1}$. Par ailleurs $M = {}^tPAP$ avec $P$ inversible, et $\det M = (\det P)^2 \Delta_n$ (Rang, noyau, (iii)). Donc $$q(v) = \frac{(\det P)^2\, \Delta_n}{\Delta_{n-1}} > 0.$$

Tout $x \in E$ s'écrit $y + tv$ avec $y \in F$, et $q(x) = q(y) + 2t\,b(y, v) + t^2 q(v) = q(y) + t^2 q(v)$, strictement positif sauf si $y = 0$ et $t = 0$.

Matrices définies négatives. $A$ est définie négative si et seulement si $-A$ est définie positive, et le mineur principal dominant d'ordre $k$ de $-A$ est $(-1)^k \Delta_k$, le déterminant étant linéaire par rapport à chacune des $k$ colonnes (Formes alternées, (ii)).

(ii) La colonne $j$ de $A + \varepsilon I_n$ est $a_j + \varepsilon \delta_j$, où $a_j$ est la colonne $j$ de $A$. En développant le déterminant par multilinéarité, colonne après colonne (Formes alternées, (ii)), on obtient $$\det(A + \varepsilon I_n) = \sum_{T} \varepsilon^{|T|} \det M_T,$$ où $T$ parcourt les parties de $\{1, \dots, n\}$ et $M_T$ est la matrice obtenue en remplaçant, pour $j \in T$, la colonne $a_j$ par $\delta_j$.

Montrons, par récurrence sur $|T|$ et pour toutes les tailles de matrices à la fois, que $\det M_T = \det A_S$, avec $S = \{1, \dots, n\} \setminus T$. Si $T$ est vide, $M_T = A$. Sinon, soit $j \in T$ ; le développement suivant la colonne $j$, qui est $\delta_j$ (Comatrice), réduit $\det M_T$ au seul cofacteur d'indice $(j, j)$, de signe $(-1)^{2j} = 1$.

Ce cofacteur est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne $j$ de $M_T$. C'est la matrice construite de la même façon à partir de $A_{\{1, \dots, n\} \setminus \{j\}}$ et de $T \setminus \{j\}$, car la suppression de la ligne $j$ change chaque $\delta_k$, $k \neq j$, en le vecteur de base de même indice. L'hypothèse de récurrence conclut, et l'on obtient (ii) puisque $|T| = n - |S|$.

(iii) Condition nécessaire. Si $A$ est positive, la restriction de $q$ à $E_S$ est positive, et son déterminant $\det A_S$ est positif (Formes positives, (v)).

Condition suffisante. Soit $\varepsilon > 0$. Le mineur principal dominant d'ordre $k$ de $A + \varepsilon I_n$ est $\det(A_{\{1, \dots, k\}} + \varepsilon I_k)$. Les sous-matrices principales de $A_{\{1, \dots, k\}}$ étant des sous-matrices principales de $A$, (ii) donne $$\det(A_{\{1, \dots, k\}} + \varepsilon I_k) \geqslant \varepsilon^k > 0,$$ le terme $S = \varnothing$ valant $\varepsilon^k$ et les autres étant positifs.

Par (i), $A + \varepsilon I_n$ est définie positive : $q(x) + \varepsilon \sum_i x_i^2 > 0$ pour tout $x \neq 0$ et tout $\varepsilon > 0$. Si l'on avait $q(x) < 0$, la valeur $\varepsilon = -q(x)/\sum_i x_i^2$ donnerait $0 > 0$. Donc $q(x) \geqslant 0$ pour tout $x$.