Proposition 1Formes quadratiques

Rang, noyau et non-dégénérescence

Soit $b$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$ , de forme quadratique $q$ . L'application $\varphi_b : E \to {E^*}$ , qui envoie $x$ sur la forme linéaire $b(x, \cdot)$ , est linéaire.

Le noyau de $b$ , ou de $q$ , est $\begin{aligned} \operatorname{Ker} b = \{x \in E :{} &b(x, y) = 0 \\ &\text{pour tout } y\}, \end{aligned}$ c'est-à-dire $\operatorname{Ker} \varphi_b$ . Le rang de $b$ , ou de $q$ , est le rang de $\varphi_b$ , noté $\operatorname{rg} b$ . La forme $b$ , ou $q$ , est non dégénérée si son noyau est nul.

Comme au nœud Matrices, le rang d'une matrice $A \in {\mathcal M_{p,n}}(K)$ est celui de l'application linéaire $X \mapsto AX$ de ${K^n}$ dans $K^p$ .

Énoncé

(i) Le rang d'une application linéaire $u : E \to F$ entre espaces de dimension finie est le rang de sa matrice dans des bases quelconques.

(ii) Si $A$ est la matrice de $b$ dans une base $\mathcal B$ , la matrice de $\varphi_b$ dans $\mathcal B$ et dans la base duale $\mathcal B^*$ est $A$ . Par suite $\operatorname{rg} b = \operatorname{rg} A$ , et $\dim \operatorname{Ker} b = n - \operatorname{rg} b.$

(iii) Deux matrices congruentes ont le même rang, et $\det({}^tPAP) = (\det P)^2 \det A$ .

(iv) Les conditions suivantes sont équivalentes : $b$ est non dégénérée ; $\varphi_b$ est un isomorphisme ; $\operatorname{rg} b = n$ ; la matrice de $b$ dans une base, ou dans toutes, a un déterminant non nul.

Démonstration

(i) Soient $(e_j)$ et $(f_i)$ des bases de $E$ et de $F$ , $A$ la matrice de $u$ , et $\psi : E \to K^n$ , $\chi : F \to K^p$ les isomorphismes qui associent à un vecteur ses coordonnées. Par linéarité, $u(x) = \sum_j x_j\, u(e_j) = \sum_i \Big(\sum_j a_{ij} x_j\Big) f_i,$ c'est-à-dire $\chi(u(x)) = A\,\psi(x)$ . L'image de $X \mapsto AX$ est donc $\chi(\operatorname{Im} u)$ , de même dimension que $\operatorname{Im} u$ , puisqu'un isomorphisme envoie une base sur une base.

(ii) Toute forme $\ell$ s'écrit $\sum_i \ell(e_i)\, e_i^*$ (Dualité, (i)). Les coordonnées de $\varphi_b(e_j)$ dans $\mathcal B^*$ sont donc les $b(e_j, e_i) = a_{ij}$ , et la $j$ -ième colonne de la matrice de $\varphi_b$ est celle de $A$ . Le point (i) donne $\operatorname{rg} b = \operatorname{rg} A$ , et le théorème du rang (Théorème du rang) la formule de dimension.

(iii) Si $A' = {}^tPAP$ avec $P$ inversible, $A$ et $A'$ sont les matrices d'une même forme $b$ dans deux bases (Formes quadratiques, (iii)), et (ii) donne $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} b = \operatorname{rg} A'$ . La formule des déterminants vient de la multiplicativité et de l'invariance par transposition (Déterminant d'une matrice, (ii) et (iii)).

(iv) La forme $b$ est non dégénérée si et seulement si $\varphi_b$ est injective. Comme $\dim E^* = \dim E$ (Dualité, (i)), c'est le cas si et seulement si $\varphi_b$ est bijective, et si et seulement si son rang est $n$ (Théorème du rang). Par (i), cela équivaut à la bijectivité de $X \mapsto AX$ , c'est-à-dire à $\det A \neq 0$ (Déterminant d'une matrice, (ii)), dans n'importe quelle base.

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Remarque

Une forme quadratique ne voit pas son noyau. Si $k \in \operatorname{Ker} b$ , alors $q(x + k) = q(x) + 2\,b(x, k) + q(k) = q(x),$ puisque $b(x, k) = 0$ et $q(k) = b(k, k) = 0$ . Ainsi $q(x) = (x_1 + x_2)^2$ sur $K^2$ , de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , est de rang $1$ , de noyau la droite engendrée par $(1, -1)$ , et elle est constante sur chaque parallèle à cette droite : c'est en réalité une forme sur la droite quotient.

Remarque

Le déterminant de la matrice n'est pas un invariant de la forme : par (iii), il est multiplié par le carré $(\det P)^2$ quand on change de base. Seule sa classe modulo les carrés non nuls en est un. Sur $\mathbb R$ , c'est son signe, qui sera relié à la signature au nœud Classification réelle.

Remarque

Une forme non dégénérée peut avoir une restriction dégénérée à un sous-espace. La forme $x_1^2 - x_2^2$ de $\mathbb R^2$ est non dégénérée, de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , mais sa restriction à la droite engendrée par $(1, 1)$ est nulle. C'est l'objet du nœud suivant.

Repose sur

Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

Sert à

Orthogonalité relative à une forme bilinéaire symétrique