Définition 1Formes quadratiques

Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

Dans tout le chapitre, $K$ est un corps commutatif dans lequel $2 = 1 + 1$ n'est pas nul, donc est inversible, et $E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ . Le corps ${\mathbb R}$ en est l'exemple qui servira au calcul différentiel.

Une forme bilinéaire sur $E$ est une application $b : E \times E \to K$ linéaire par rapport à chacune de ses deux variables, l'autre étant fixée. Elle est symétrique si $b(x, y) = b(y, x)$ pour tous $x, y \in E$ .

Une forme quadratique sur $E$ est une application $q : E \to K$ pour laquelle il existe une forme bilinéaire $b$ , symétrique ou non, telle que $q(x) = b(x, x)$ pour tout $x \in E$ .

Si $\mathcal B = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ , la matrice de $b$ dans $\mathcal B$ est la matrice $A = \big(b(e_i, e_j)\big)_{i,j}$ de ${\mathcal M_n}(K)$ . Comme au nœud Matrices, une matrice carrée $A$ est symétrique si ${}^tA = A$ . On note $X \in {K^n}$ la colonne des coordonnées de $x$ dans $\mathcal B$ , et $Y$ celle de $y$ .

Deux formes quadratiques, $q$ sur $E$ et $q'$ sur $E'$ , sont équivalentes s'il existe un isomorphisme $u : E \to E'$ tel que $q'(u(x)) = q(x)$ pour tout $x \in E$ . Deux matrices $A$ et $A'$ de $\mathcal M_n(K)$ sont congruentes s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $A' = {}^tP\,A\,P.$

Énoncé

(i) Polarisation. Pour toute forme quadratique $q$ , il existe une unique forme bilinéaire symétrique $b$ telle que $q(x) = b(x, x)$ pour tout $x$ : c'est la forme polaire de $q$ , donnée par $b(x, y) = \frac12\big(q(x + y) - q(x) - q(y)\big).$ De plus, $q(\lambda x) = \lambda^2 q(x)$ pour tout $\lambda \in K$ .

(ii) Matrice. Si $A$ est la matrice de la forme bilinéaire $b$ dans $\mathcal B$ , alors $b(x, y) = {}^tX A Y$ . L'application $b \mapsto A$ est une bijection de l'ensemble des formes bilinéaires sur $E$ sur $\mathcal M_n(K)$ , et $b$ est symétrique si et seulement si $A$ l'est. Dans ce cas, $q(x) = \sum_i a_{ii} x_i^2 + 2\sum_{i < j} a_{ij} x_i x_j.$ Réciproquement, pour tous scalaires $c_{ij}$ , $i \leqslant j$ , l'application $x \mapsto \sum_{i \leqslant j} c_{ij} x_i x_j$ est une forme quadratique, dont la forme polaire a pour matrice $a_{ii} = c_{ii}$ et $a_{ij} = a_{ji} = c_{ij}/2$ pour $i < j$ .

(iii) Changement de base. Si $\mathcal B'$ est une autre base et $P = \operatorname{Mat}_{\mathcal B', \mathcal B}(\mathrm{id})$ la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ , la matrice de $b$ dans $\mathcal B'$ est ${}^tP A P$ . Toute matrice inversible $P$ s'obtient ainsi, si bien que les matrices de $b$ dans les différentes bases de $E$ sont exactement les matrices congruentes à $A$ .

(iv) Deux formes quadratiques sur des espaces de même dimension $n$ sont équivalentes si et seulement si les matrices de leurs formes polaires, dans des bases quelconques, sont congruentes.

Démonstration

(i) Existence. Si $q(x) = c(x, x)$ avec $c$ bilinéaire, la forme $b(x, y) = \frac12\big(c(x, y) + c(y, x)\big)$ est bilinéaire, symétrique, et $b(x, x) = c(x, x) = q(x)$ .

Unicité et formule. Si $b$ est symétrique et $q(x) = b(x, x)$ , la bilinéarité et la symétrie donnent $q(x + y) = q(x) + 2\,b(x, y) + q(y),$ et l'on divise par $2$ : $b$ est déterminée par $q$ . Enfin $q(\lambda x) = b(\lambda x, \lambda x) = \lambda^2 b(x, x)$ .

(ii) Par bilinéarité, $b(x, y) = \sum_{i,j} x_i y_j\, b(e_i, e_j)$ , qui est le produit ${}^tX A Y$ . Une forme bilinéaire est donc déterminée par sa matrice ; inversement, pour toute matrice $A$ , l'application $(x, y) \mapsto {}^tX A Y$ est bilinéaire, et sa matrice est $A$ , puisque $X$ et $Y$ valent $\delta_i$ et $\delta_j$ en $e_i$ et $e_j$ .

Si $b$ est symétrique, $a_{ij} = b(e_i, e_j) = b(e_j, e_i) = a_{ji}$ . Si $A$ est symétrique, ${}^tX A Y = \sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j = \sum_{i,j} a_{ji} y_j x_i = {}^tY A X$ . La formule de $q$ s'obtient en séparant, dans $\sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j$ , les termes diagonaux et les paires $\{i, j\}$ , qui apparaissent deux fois.

Pour la réciproque, la matrice $A$ décrite est symétrique, et la formule précédente redonne $\sum_{i \leqslant j} c_{ij} x_i x_j = {}^tX A X$ ; la division par $2$ est permise puisque $2$ est inversible.

(iii) Les colonnes de $P$ sont les coordonnées dans $\mathcal B$ des vecteurs $e'_j$ de $\mathcal B'$ . Si $X'$ est la colonne des coordonnées de $x$ dans $\mathcal B'$ , alors $x = \sum_j x'_j e'_j = \sum_j x'_j \sum_i p_{ij} e_i,$ c'est-à-dire $X = PX'$ , et de même $Y = PY'$ .

La transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse, comme on le voit sur les coefficients ; en particulier ${}^t(PX') = {}^tX'\,{}^tP$ . Le produit étant associatif (Matrices, (iii)), $b(x, y) = {}^tX'\,\big({}^tP A P\big)\, Y',$ et ${}^tP A P$ est la matrice de $b$ dans $\mathcal B'$ par l'unicité vue en (ii).

Inversement, si $P$ est inversible, l'application $X \mapsto PX$ est bijective (Déterminant d'une matrice, (ii)) ; elle envoie la base canonique sur les colonnes de $P$ , qui forment donc une base de $K^n$ . Les vecteurs de $E$ qui ont ces colonnes pour coordonnées forment une base $\mathcal B'$ , et $P = \operatorname{Mat}_{\mathcal B', \mathcal B}(\mathrm{id})$ .

(iv) Soient $q$ sur $E$ et $q'$ sur $E'$ , de formes polaires $b$ et $b'$ . Si $u$ est un isomorphisme tel que $q' \circ u = q$ , alors $(x, y) \mapsto b'(u(x), u(y))$ est une forme bilinéaire symétrique de forme quadratique $q$ ; par l'unicité de (i), c'est $b$ . Pour une base $\mathcal B$ de $E$ , la matrice de $b'$ dans la base $u(\mathcal B)$ de $E'$ est donc celle de $b$ dans $\mathcal B$ , et (iii) donne la congruence dans des bases quelconques.

Réciproquement, soient $A$ et $A'$ les matrices de $b$ et de $b'$ dans des bases $\mathcal B$ et $\mathcal C'$ , avec $A' = {}^tPAP$ . Par (iii), $A'$ est la matrice de $b$ dans une base $\mathcal B'$ de $E$ . L'isomorphisme $u$ qui envoie $\mathcal B'$ sur $\mathcal C'$ vérifie $b'(u(e'_i), u(e'_j)) = a'_{ij} = b(e'_i, e'_j)$ , donc $b'(u(x), u(y)) = b(x, y)$ par bilinéarité, et $q' \circ u = q$ .

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Remarque

La première faute à éviter porte sur la matrice elle-même. La forme $q(x) = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ de $\mathbb R^2$ a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$ avec $2$ et non $4$ hors de la diagonale : le terme croisé se partage entre les places $(1, 2)$ et $(2, 1)$ .

Dans la base $e'_1 = (1, 1)$ , $e'_2 = (1, -1)$ , on a $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et ${}^tPAP = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ : en effet, si $x_1 = s + t$ et $x_2 = s - t$ , alors $q(x) = 6s^2 - 2t^2$ .

La congruence n'est pas la similitude : la matrice $P^{-1}AP$ de l'endomorphisme $X \mapsto AX$ dans la même base est $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , de trace $2$ comme $A$ (Trace, (iii)), alors que ${}^tPAP$ a pour trace $4$ . Une forme bilinéaire et un endomorphisme ont tous deux une matrice, mais elles ne changent pas de la même façon avec la base.

Remarque

Tout repose sur la division par $2$ , et c'est en caractéristique $2$ que tout casse. Sur le corps $\mathbb Z/2\mathbb Z$ , où $1 + 1 = 0$ , la forme quadratique $q(x) = x_1x_2$ de $K^2$ , égale à $b(x, x)$ pour la forme non symétrique $b(x, y) = x_1y_2$ , n'est $b(x, x)$ pour aucune forme symétrique.

En effet, une forme symétrique s'écrit $a\,x_1y_1 + c\,(x_1y_2 + x_2y_1) + d\,x_2y_2$ , et sa forme quadratique vaut $a\,x_1^2 + d\,x_2^2$ . Elle ne s'annule en $(1, 0)$ et en $(0, 1)$ , comme $q$ , que si $a = d = 0$ ; elle est alors nulle, alors que $q(1, 1) = 1$ .

La polarisation ne rend pas davantage $q$ : $q(x + y) - q(x) - q(y) = x_1y_2 + x_2y_1$ est une forme symétrique nulle sur la diagonale. En caractéristique $2$ , formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques forment deux théories distinctes, et le chapitre l'écarte.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Rang, noyau et non-dégénérescence Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et matrice hessienne