Théorème 9Formes quadratiques

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et matrice hessienne

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ et $f : U \to \mathbb R$ de classe C^2. L'application $df$ , de matrice $(\partial_1 f, \dots, \partial_n f)$ , est de classe $C^1$ : ses composantes $\partial_j f$ le sont (Classe Cᵏ, (ii)), si bien que les dérivées secondes $\partial_i\partial_j f = \partial_i(\partial_j f)$ existent et sont continues sur $U$ (même nœud, (i)).

La matrice hessienne de $f$ en $a$ est $H_f(a) = \big(\partial_i\partial_j f(a)\big)_{i,j}.$ Elle est symétrique par le théorème de Schwarz (Schwarz, intégrales à paramètre, (i)). La forme hessienne de $f$ en $a$ est la forme quadratique $h \mapsto {}^th\,H_f(a)\,h = \sum_{i,j} \partial_i\partial_j f(a)\, h_i h_j$ , dont la forme polaire a pour matrice $H_f(a)$ .

Énoncé

Soit $a \in U$ .

(i) Taylor-Lagrange. Si le segment $[a, a + h]$ est contenu dans $U$ , il existe $\theta \in \,]0, 1[$ tel que $\begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + df(a)h \\ &\quad + \tfrac12\, {}^th\, H_f(a + \theta h)\, h. \end{aligned}$

(ii) Taylor-Young. Pour toute norme sur $\mathbb R^n$ , il existe une fonction $\varepsilon$ , définie au voisinage de $0$ , nulle et continue en $0$ , telle que $\begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + df(a)h \\ &\quad + \tfrac12\, {}^th\, H_f(a)\, h \\ &\quad + \|h\|^2\, \varepsilon(h). \end{aligned}$ C'est la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ .

Démonstration

(i) L'ensemble des réels $t$ tels que $a + th \in U$ est ouvert, comme image réciproque de $U$ par une application continue, et il contient $[0, 1]$ . Sur cet ensemble, $\varphi(t) = f(a + th)$ est dérivable, de dérivée $\begin{aligned} \varphi'(t) &= df(a + th)(h) \\ &= \sum_j h_j\, \partial_j f(a + th), \end{aligned}$ par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)).

Chaque $\partial_j f$ étant de classe $C^1$ , la même règle montre que $t \mapsto \partial_j f(a + th)$ est dérivable, de dérivée $\sum_i h_i\, \partial_i\partial_j f(a + th)$ . Ainsi $\varphi$ est deux fois dérivable sur $[0, 1]$ , et $\varphi''(t) = {}^th\, H_f(a + th)\, h.$ La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ (Taylor-Lagrange), entre $0$ et $1$ , fournit $\theta \in \,]0, 1[$ tel que $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12 \varphi''(\theta)$ , ce qui est (i).

(ii) Traitons d'abord la norme $\|\cdot\|_\infty$ . Soit $r > 0$ tel que la boule $B_\infty(a, r)$ soit contenue dans $U$ ; elle est convexe. Pour $0 < \|h\|_\infty < r$ , définissons $\varepsilon(h)$ par $\begin{aligned} \|h\|_\infty^2\, \varepsilon(h) &= f(a + h) - f(a) \\ &\quad - df(a)h - \tfrac12\, {}^thH_f(a)h, \end{aligned}$ et posons $\varepsilon(0) = 0$ . Par (i), le second membre vaut, pour un $\theta \in \,]0, 1[$ , $\frac12 \sum_{i,j} \big(\partial_i\partial_j f(a + \theta h) - \partial_i\partial_j f(a)\big) h_i h_j.$

Soit $\eta > 0$ . Les $n^2$ fonctions $\partial_i\partial_j f$ étant continues en $a$ , il existe $\delta \in \,]0, r]$ tel que $|\partial_i\partial_j f(z) - \partial_i\partial_j f(a)| < \eta$ pour tous $i, j$ dès que $\|z - a\|_\infty < \delta$ . Si $0 < \|h\|_\infty < \delta$ , le point $a + \theta h$ est dans cette boule, et, chaque $|h_ih_j|$ étant au plus $\|h\|_\infty^2$ , $|\varepsilon(h)| \leqslant \frac{n^2 \eta}{2}.$ Donc $\varepsilon$ tend vers $0$ en $0$ . Aucun choix n'intervient : $\varepsilon(h)$ est défini par une formule, et le réel $\theta$ ne sert qu'à le majorer.

Pour une autre norme, il existe $\beta > 0$ tel que $\|h\|_\infty \leqslant \beta\|h\|$ (Équivalence des normes, (i)), et l'on remplace $\varepsilon(h)$ par $\varepsilon(h)\,\|h\|_\infty^2/\|h\|^2$ , de valeur absolue au plus $\beta^2|\varepsilon(h)|$ .

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Remarque

Pour $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ au point $a = (1, 1)$ , on a $f(a) = -1$ , $df(a) = 0$ et $H_f(a) = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}.$ Le développement exact est $\begin{aligned} f(1 + h, 1 + k) &= -1 + 3h^2 - 3hk + 3k^2 \\ &\quad + h^3 + k^3, \end{aligned}$ et la partie quadratique $3h^2 - 3hk + 3k^2$ est bien la moitié de la forme hessienne $6h^2 - 6hk + 6k^2$ .

Remarque

Un oubli fréquent est celui du facteur $\frac12$ : la matrice de la partie quadratique du développement est $\frac12 H_f(a)$ , non $H_f(a)$ . Pour $n = 1$ , la formule redevient $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \frac12 f''(a)h^2 + h^2\varepsilon(h)$ , et le $\frac12$ est celui du polynôme de Taylor du nœud Taylor-Lagrange. C'est le cas de l'ordre $2$ de la formule de Taylor-Young à une variable (Taylor-Young), qui la démontre sous une hypothèse plus faible : $f$ dérivable sur un intervalle et $f'$ dérivable au seul point $a$ .

Remarque

La formule de Taylor elle-même n'a pas besoin du théorème de Schwarz : la démonstration de (i) n'en fait pas usage. Il sert à l'interpréter. Sans lui, la forme $h \mapsto {}^thH_f(a)h$ serait encore une forme quadratique, mais la matrice de sa forme polaire serait $\frac12\big(H_f(a) + {}^tH_f(a)\big)$ , et non $H_f(a)$ . C'est la symétrie de la hessienne qui permet de lire sur ses coefficients la forme polaire du second ordre, puis de lui appliquer les critères des nœuds précédents.

Repose sur

Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre

Sert à

Points critiques et conditions nécessaires d'extremum