Théorème 6Dérivabilité

Dérivées successives et formule de Taylor-Lagrange

Soit $I$ un intervalle non réduit à un point et $f : I \to {\mathbb R}$ . Les dérivées successives de $f$ sont définies par récurrence : $f^{(0)} = f$ et, lorsque $f^{(n)}$ est définie et dérivable sur $I$ , $f^{(n+1)} = \big(f^{(n)}\big)'$ .

On dit que $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(n)}$ est définie sur $I$ , et de classe $C^n$ si de plus $f^{(n)}$ est continue. On écrit $f'' = f^{(2)}$ .

Par les opérations sur les fonctions dérivables, les fonctions polynomiales et rationnelles sont indéfiniment dérivables là où elles sont définies. Pour $f(x) = \frac{1}{1 + x}$ sur $]{-1}, +\infty[$ , une récurrence fondée sur la dérivée de $1/g$ donne $f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^k\, k!}{(1 + x)^{k+1}}.$

Énoncé

Soit $n \in {\mathbb N}$ , $f : I \to \mathbb R$ dérivable $n + 1$ fois sur $I$ , et $a \neq b$ deux points de $I$ . Il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ tel que $\begin{aligned} f(b) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(b - a)^k \\ &\quad + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(b - a)^{n+1}. \end{aligned}$ En particulier, si $|f^{(n+1)}| \leqslant M$ entre $a$ et $b$ , l'écart entre $f(b)$ et le polynôme de Taylor $\sum_{k \leqslant n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b - a)^k$ est au plus $\dfrac{M\,|b - a|^{n+1}}{(n+1)!}$ .

Démonstration

Soit $A$ le réel tel que $\begin{aligned} f(b) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(b - a)^k \\ &\quad + \frac{A}{(n+1)!}\,(b - a)^{n+1}, \end{aligned}$ qui existe puisque $b - a \neq 0$ . Considérons, pour $t \in I$ , $\begin{aligned} g(t) &= f(b) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}\,(b - t)^k \\ &\quad - \frac{A}{(n+1)!}\,(b - t)^{n+1}. \end{aligned}$ Par le choix de $A$ , $g(a) = 0$ ; et $g(b) = f(b) - f(b) = 0$ , puisque tous les termes d'indice $k \geqslant 1$ s'annulent en $t = b$ .

Chaque $f^{(k)}$ , pour $k \leqslant n$ , est dérivable, et la dérivée de $t \mapsto (b - t)^k = (-1)^k (t - b)^k$ est $-k(b - t)^{k-1}$ (Opérations, (iv)). La formule du produit donne, pour $1 \leqslant k \leqslant n$ , $\begin{aligned} &\frac{d}{dt}\left[\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(b - t)^k\right] \\ &\quad = \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(b - t)^k \\ &\qquad - \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(b - t)^{k-1}, \end{aligned}$ et la dérivée du terme $k = 0$ est $f'(t)$ . La somme est télescopique et vaut $\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(b - t)^n$ . Par suite $g'(t) = \frac{(b - t)^n}{n!}\Big(A - f^{(n+1)}(t)\Big).$

La fonction $g$ est dérivable, donc continue, sur le segment d'extrémités $a$ et $b$ , et prend la même valeur $0$ en ces deux points. Le théorème de Rolle (Rolle) fournit $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ tel que $g'(c) = 0$ ; comme $b - c \neq 0$ , on obtient $A = f^{(n+1)}(c)$ . La majoration finale s'en déduit aussitôt.

□

Remarque

Pour $n = 0$ , la formule s'écrit $f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)$ : c'est l'égalité des accroissements finis, dont la formule de Taylor-Lagrange est la généralisation aux ordres supérieurs, démontrée de la même façon, par le théorème de Rolle appliqué à une fonction auxiliaire bien choisie. Sa version locale, la formule de Taylor-Young (Taylor-Young), demande une dérivée de moins et ne décrit que le comportement près de $a$ .

Remarque

Pour $f(x) = \frac1{1 + x}$ , $a = 0$ , $b = \frac12$ et $n = 2$ , le polynôme de Taylor est $1 - b + b^2 = 0{,}75$ , alors que $f(\frac12) = \frac23$ . Le reste vaut $-\frac1{12}$ ; il s'écrit $\frac{f'''(c)}{3!}\,b^3 = -\frac{1}{8(1 + c)^4}$ avec $(1 + c)^4 = \frac32$ , soit $c \approx 0{,}107$ , qui est bien entre $0$ et $\frac12$ .

La majoration, avec $M = 6$ , borne l'erreur par $\frac18 = 0{,}125$ , pour une erreur réelle de $0{,}083$ : elle est un peu pessimiste, mais elle ne demande aucune connaissance de $c$ .

Remarque

Si $P$ est un polynôme de degré au plus $n$ , sa dérivée $(n + 1)$ -ième est nulle, et la formule donne exactement $P(x) = \sum_{k \leqslant n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ : c'est la formule de Taylor pour les polynômes, qui exprime $P$ dans la base des puissances de $X - a$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que le polynôme de Taylor approche toujours mieux $f$ quand $n$ augmente. Pour $f(x) = \frac1{1 + x}$ et $b = 2$ , le polynôme $\sum_{k \leqslant n} (-2)^k$ s'écarte indéfiniment de $f(2) = \frac13$ .

La majoration de Taylor-Lagrange ne garantit la convergence que si $\frac{M\,|b - a|^{n+1}}{(n+1)!}$ tend vers $0$ , ce qui n'est pas le cas ici : $|f^{(n+1)}(0)| = (n + 1)!$ et $|b - a|^{n+1} = 2^{n+1}$ . Une autre forme du reste, intégrale, s'obtiendra après le théorème fondamental de l'analyse, en intégrant par parties.

Pour

f(x) = \frac1{1 + x}

, les polynômes de Taylor en

0

T_n(x) = \sum_{k \leqslant n} (-x)^k

, sont tracés pour

n = 1

2

3

. L'écart

f(x) - T_n(x) = \frac{(-x)^{n+1}}{1 + x}

est minuscule près de

0

, mais en

x = 2

les polynômes valent

-1

3

-5

(ce dernier hors du cadre) et s'éloignent de plus en plus de

f(2) = \frac13

Repose sur

Égalité des accroissements finis

Sert à

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