Théorème 1Comparaisons et développements limités

Formule de Taylor-Young à une variable

Énoncé

Soit $I$ un intervalle de ${\mathbb R}$ non réduit à un point, $a \in I$ , $n \geqslant 1$ un entier, et $f : I \to \mathbb R$ une fonction $n - 1$ fois dérivable sur $I$ , dont la dérivée $(n - 1)$ -ième $f^{(n-1)}$ est dérivable en $a$ ; on note $f^{(n)}(a)$ son nombre dérivé en $a$ . Alors $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + {o}\big((x - a)^n\big)$ quand $x \to a$ . C'est la formule de Taylor-Young : $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $a$ , dont la partie régulière est son polynôme de Taylor à l'ordre $n$ en $a$ . Elle s'applique en particulier si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ , ou de classe $C^n$ sur $I$ .

Démonstration

Par récurrence sur $n$ , l'énoncé étant démontré pour tous les intervalles, tous les points et toutes les fonctions à la fois. Pour $n = 1$ , $f$ est dérivable en $a$ , et c'est le point (iii) du nœud Développement limité.

Supposons l'énoncé vrai au rang $n \geqslant 1$ , et soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur $I$ dont la dérivée $n$ -ième est dérivable en $a$ . Par une récurrence immédiate sur $k$ , la dérivée $f'$ est $k$ fois dérivable sur $I$ pour $k \leqslant n - 1$ , avec $(f')^{(k)} = f^{(k+1)}$ : c'est vrai pour $k = 0$ , et si $(f')^{(k)} = f^{(k+1)}$ avec $k + 1 \leqslant n - 1$ , la dérivée de cette fonction est $f^{(k+2)}$ , par définition des dérivées successives. Ainsi $f'$ est $n - 1$ fois dérivable sur $I$ , et $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ est dérivable en $a$ , de nombre dérivé $f^{(n+1)}(a)$ . L'hypothèse de récurrence, appliquée à $f'$ , donne $f'(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\big((x - a)^n\big).$

La fonction $f$ est dérivable sur $I$ , puisque $n \geqslant 1$ , donc continue (Développement à l'ordre 1). Le lemme d'intégration (Intégrer un DL) donne alors, avec $k!\,(k + 1) = (k + 1)!$ et le changement d'indice $j = k + 1$ , $\begin{aligned} f(x) &= f(a) + \sum_{j=1}^{n+1} \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x - a)^j \\ &\quad + o\big((x - a)^{n+1}\big), \end{aligned}$ qui est l'énoncé au rang $n + 1$ , puisque le terme $j = 0$ de la somme est $f(a)$ .

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Remarque

La formule de Taylor-Lagrange (Taylor-Lagrange) et celle de Taylor-Young ne disent pas la même chose. La première demande $n + 1$ dérivées sur tout l'intervalle et donne, entre deux points quelconques, un reste explicite que l'on peut majorer ; la seconde ne demande que $n - 1$ dérivées sur l'intervalle et une de plus au seul point $a$ , et ne dit rien d'autre que le comportement du reste quand $x$ tend vers $a$ . Quand $f^{(n+1)}$ est bornée près de $a$ , la première donne même un reste ${O}\big((x - a)^{n+1}\big)$ , plus précis.

Ainsi, pour le cosinus en $0$ à l'ordre $2$ , le reste $\cos x - (1 - x^2/2)$ vaut environ $4{,}165 \cdot 10^{-6}$ en $x = 0{,}1$ , très près de $x^4/24 \approx 4{,}167 \cdot 10^{-6}$ : il est bien plus petit que $x^2$ , ce que dit Taylor-Young, et la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ le borne par $x^4/24$ , puisque $|\cos| \leqslant 1$ .

Remarque

La réciproque est fausse dès l'ordre $2$ : la fonction $x^3\sin(1/x)$ , prolongée par $0$ , a un DL à l'ordre $2$ en $0$ sans être deux fois dérivable en $0$ (Développement limité, deuxième remarque). Et un DL ne détermine pas la fonction : la fonction $\theta$ du nœud Fonction plate en 0 a toutes ses dérivées nulles en $0$ , donc, par Taylor-Young, le DL nul à tout ordre, comme la fonction nulle, alors que $\theta(x) > 0$ pour $x > 0$ .

Remarque

Lue à l'envers, avec l'unicité du DL (Développement limité, (i)), la formule calcule des dérivées : si $f$ vérifie les hypothèses du théorème et si l'on connaît, par un autre moyen, un DL à l'ordre $n$ de coefficients $c_k$ , alors $f^{(k)}(a) = k!\,c_k$ . Pour $f(x) = 1/(1 - x^2)$ , l'identité $\frac1{1 - y} = 1 + y + y^2 + \frac{y^3}{1 - y}$ , avec $y = x^2$ , donne le DL $1 + x^2 + x^4 + o(x^5)$ , d'où $f^{(4)}(0) = 4! = 24$ sans dériver quatre fois.

Remarque

Le nom vient de William Henry Young, qui l'a exposée en 1910 dans The Fundamental Theorems of the Differential Calculus (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, n° 11). La version à plusieurs variables, à l'ordre $2$ , est au nœud Taylor-Young du calcul différentiel.

Repose sur

Intégration d'un développement limité

Sert à

Développements limités usuels en 0 Étude locale : position par rapport à la tangente, extremums