Développements limités usuels en 0

Dans (i), (iii) et (iv), pour $n = 0$, l'énoncé dit que la fonction tend vers sa valeur en $0$, ce qui vient de sa continuité, puisqu'elle est dérivable ; on y suppose désormais $n \geqslant 1$. Les démonstrations de (ii), (v) et (vi) valent pour tout $n \geqslant 0$, les ordres $2n + 1$ et $2n + 2$ étant au moins égaux à $1$. Les fonctions de (i), (iv), (v) sont indéfiniment dérivables, et l'on applique la formule de Taylor-Young (Taylor-Young) ; celles de (iii) et (vi) s'obtiennent par le lemme d'intégration (Intégrer un DL).

(i) Toutes les dérivées successives de $\exp$ sont égales à $\exp$ (Exponentielle, (ii)), et $\exp 0 = 1$.

(ii) C'est l'identité démontrée au point (iv) du nœud Opérations sur les DL. La substitution $y = -x$, qui tend vers $0$ (Règles de calcul, (vii)), donne le second développement, $o\big((-x)^n\big)$ étant un $o(x^n)$.

(iii) La fonction $F(x) = \ln(1 + x)$ est dérivable sur $]{-1}, +\infty[$, de dérivée $1/(1 + x)$, par Logarithme, (i), et la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée) ; elle est donc continue, et $F(0) = \ln 1 = 0$. Le développement (ii) à l'ordre $n - 1$ et le lemme d'intégration donnent $$\ln(1 + x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k + 1}x^{k+1} + o(x^n),$$ qui est (iii) après le changement d'indice $k + 1 \to k$.

(iv) Par Puissances réelles, (iii), et la dérivée d'une composée, la fonction $f(x) = (1 + x)^\alpha$ est dérivable sur $]{-1}, +\infty[$, de dérivée $\alpha(1 + x)^{\alpha - 1}$. Par récurrence sur $k$, elle est $k$ fois dérivable et $f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k}$ : on dérive encore, par la même règle avec l'exposant $\alpha - k$. En $0$, $(1 + 0)^{\alpha - k} = 1$, et $f^{(k)}(0)/k! = \binom\alpha k$.

(v) Par Cosinus et sinus sur ℝ, (iii), $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ ; par récurrence sur $k$, $\cos^{(2k)} = (-1)^k\cos$, $\cos^{(2k+1)} = (-1)^{k+1}\sin$, $\sin^{(2k)} = (-1)^k\sin$ et $\sin^{(2k+1)} = (-1)^k \cos$. Comme $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$ (Tangente, cos et sin, (iii)), les coefficients de Taylor de $\cos$ en $0$ sont nuls aux ordres impairs et valent $(-1)^k/(2k)!$ à l'ordre $2k$ ; ceux de $\sin$ sont nuls aux ordres pairs et valent $(-1)^k/(2k + 1)!$ à l'ordre $2k + 1$. La formule de Taylor-Young à l'ordre $2n + 1$ pour $\cos$, $2n + 2$ pour $\sin$, donne (v).

(vi) La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb R$, de dérivée $1/(1 + x^2)$, et $\arctan 0 = 0$ (Arc tangente, π, (i)). L'identité de (ii), avec $y = -x^2$, donne $$\frac1{1 + x^2} = \sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k} + \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1 + x^2},$$ et le dernier terme, de valeur absolue au plus $x^{2n+2}$, est un $o(x^{2n+1})$. Le lemme d'intégration, appliqué à l'ordre $2n + 1$, donne (vi).

(vii) Sur $I_0 = \,]{-\frac\pi2}, \frac\pi2[$, le cosinus et le sinus prolongent les fonctions $c$ et $s$ du nœud Tangente, cos et sin, qui vérifient $c > 0$ et $s = \tan \cdot c$ : ainsi $\tan = \sin/\cos$ sur $I_0$, où $\cos$ ne s'annule pas. Par (v), $\sin x = x - \frac{x^3}6 + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$ et $\cos x = 1 - v(x)$ avec $$v(x) = \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + o(x^6).$$ Le point (iv) du nœud Opérations sur les DL, avec $1/(1 - y) = \sum_{k \leqslant 6} y^k + o(y^6)$, dont seuls les termes $y$, $y^2$ et $y^3$ contribuent jusqu'à l'ordre $6$ puisque $v(x) = O(x^2)$, et avec $v^2 = \frac{x^4}4 - \frac{x^6}{24} + o(x^6)$ et $v^3 = \frac{x^6}8 + o(x^6)$, donne $$\frac1{\cos x} = 1 + \frac{x^2}2 + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + o(x^6),$$ et le produit (ii) par le DL du sinus, tronqué à l'ordre $6$, donne $x + \big(\frac12 - \frac16\big)x^3 + \big(\frac5{24} - \frac1{12} + \frac1{120}\big)x^5 + o(x^6)$. Comme $\frac12 - \frac16 = \frac13$ et $\frac5{24} - \frac1{12} + \frac1{120} = \frac{2}{15}$, c'est (vii) ; il n'y a pas de terme en $x^6$, puisque la partie régulière du sinus n'a que des puissances impaires et celle de $1/\cos$ que des puissances paires.