Développement limité à l'ordre n

(ii) Si $|x - a| \leqslant \min(1, \varepsilon)$, alors $|x - a|^k = |x - a|^{k-m}\,|x - a|^m \leqslant \varepsilon\,|x - a|^m$, puisque $k - m \geqslant 1$. De même, $|x - a|^n \leqslant |x - a|^m$ pour $|x - a| \leqslant 1$ et $n \geqslant m$, donc $(x - a)^n = {O}\big((x - a)^m\big)$, et un $o\big((x - a)^n\big)$ est un $o\big((x - a)^m\big)$ par transitivité (Règles de calcul, (i)). Alors $$\begin{aligned} &f(x) - \sum_{k=0}^m c_k(x - a)^k \\ &\quad = \sum_{k=m+1}^n c_k (x - a)^k + o\big((x - a)^n\big) \end{aligned}$$ est une somme finie de fonctions négligeables devant $(x - a)^m$, donc négligeable devant elle (Règles de calcul, (ii)).

(i) Supposons que $f$ ait deux DL à l'ordre $n$, de coefficients $(c_k)$ et $(d_k)$, et posons $e_k = c_k - d_k$. Par différence, $\sum_k e_k (x - a)^k = o\big((x - a)^n\big)$. Si les $e_k$ n'étaient pas tous nuls, soit $p$ le plus petit indice tel que $e_p \neq 0$, et $\varepsilon > 0$. Au voisinage de $a$, et pour $|x - a| \leqslant 1$, on a $\big|\sum_{k \geqslant p} e_k (x - a)^k\big| \leqslant \varepsilon\,|x - a|^n \leqslant \varepsilon\,|x - a|^p$, d'où, pour $x \neq a$, en divisant par $|x - a|^p$, $$\Big|e_p + \sum_{k > p} e_k (x - a)^{k - p}\Big| \leqslant \varepsilon.$$ Le premier membre est la valeur absolue d'une fonction polynomiale, continue, qui vaut $|e_p|$ en $a$ ; l'inégalité vaut sur un voisinage relatif de $a$ privé de $a$, auquel $a$ est adhérent, et le passage à la limite (Limite en un point, (ii), (iii) et (vi)) donne $|e_p| \leqslant \varepsilon$. C'est vrai pour tout $\varepsilon > 0$, donc $e_p = 0$, ce qui contredit le choix de $p$.

(iii) Le cas de l'ordre $0$ est le point (ii) du nœud Relations de comparaison, avec le point (ii) du nœud Limite en un point quand $a \in D$. Si $D = I$ contient $a$ et si $f(x) = c_0 + c_1(x - a) + o(x - a)$, l'inégalité $|f(a) - c_0| \leqslant \varepsilon \cdot 0$ force $c_0 = f(a)$. La fonction $x \mapsto x - a$ ne s'annule pas sur $I \setminus \{a\}$, et la fonction $f(x) - f(a) - c_1(x - a)$ s'annule en $a$ ; par le point (iii) du nœud Relations de comparaison, la relation équivaut à $$\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - c_1 \to 0$$ quand $x \to a$ dans $I \setminus \{a\}$, c'est-à-dire à la dérivabilité de $f$ en $a$ avec $f'(a) = c_1$ (Dérivabilité en un point).

(iv) La fonction $u(x) = -x$ envoie $D$ dans $D$ et tend vers $0$ en $0$. Par substitution (Règles de calcul, (vii)) dans le DL de $f$, on obtient $$f(-x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k c_k x^k + o\big((-x)^n\big),$$ et un $o\big((-x)^n\big)$ est un $o(x^n)$, les deux fonctions ayant même valeur absolue. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$, et l'unicité (i) donne $(-1)^k c_k = c_k$, donc $c_k = 0$ pour $k$ impair ; si $f$ est impaire, $f(-x) = -f(x)$ donne $c_k = 0$ pour $k$ pair.

(v) On a $f(x) - c_p(x - a)^p = \sum_{k > p} c_k(x - a)^k + o\big((x - a)^n\big)$, qui est $o\big((x - a)^p\big)$ par (ii), puisque $n \geqslant p$. Comme $c_p \neq 0$, $(x - a)^p = O\big(c_p(x - a)^p\big)$, avec la constante $1/|c_p|$, et la transitivité donne $f(x) - c_p(x - a)^p = o\big(c_p(x - a)^p\big)$.