Proposition 2Dérivabilité

Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Énoncé

Soit $f : I \to {\mathbb R}$ , $a \in I$ et $\ell \in \mathbb R$ . Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$ ;

(ii) développement limité à l'ordre 1 : il existe une fonction $\varepsilon$ , définie sur $\{h : a + h \in I\}$ , continue en $0$ et nulle en $0$ , telle que $f(a + h) = f(a) + \ell h + h\, \varepsilon(h)$ pour tout $h$ tel que $a + h \in I$ ;

(iii) forme de Carathéodory : il existe une fonction $\varphi : I \to \mathbb R$ , continue en $a$ , telle que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ pour tout $x \in I$ et $\varphi(a) = \ell$ .

En particulier, une fonction dérivable en $a$ est continue en a.

Démonstration

(i) ⇒ (iii). On pose $\varphi(x) = \tau_a(x)$ pour $x \neq a$ et $\varphi(a) = \ell$ . L'égalité demandée est la définition du taux d'accroissement pour $x \neq a$ , et elle est triviale pour $x = a$ . Comme $\tau_a \to \ell$ en $a$ , le prolongement $\varphi$ est continu en $a$ (Limite en un point, (ii)).

(iii) ⇒ (ii). On pose $\varepsilon(h) = \varphi(a + h) - \ell$ , qui est nulle en $0$ et continue en $0$ comme composée de $h \mapsto a + h$ , continue, et de $\varphi$ , continue en $a$ . Alors $\begin{aligned} f(a + h) - f(a) &= \varphi(a + h)h \\ &= \ell h + h\,\varepsilon(h). \end{aligned}$

(ii) ⇒ (i). Pour $x \in I$ distinct de $a$ , en posant $h = x - a$ , on obtient $\tau_a(x) = \ell + \varepsilon(x - a)$ . La fonction $x \mapsto \varepsilon(x - a)$ est continue en $a$ et nulle en $a$ , donc tend vers $0$ , et $\tau_a(x) \to \ell$ .

Enfin, sous (iii), $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ est continue en $a$ comme somme et produit de fonctions continues en $a$ .

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Remarque

La forme (ii) dit que la droite d'équation $y = f(a) + \ell(x - a)$ approche le graphe de $f$ mieux que toute autre près de $a$ : l'écart est négligeable devant $x - a$ . C'est cette forme, et non le taux d'accroissement, qui se généralise aux fonctions de plusieurs variables : la différentielle remplace $h \mapsto \ell h$ par une application linéaire. Elle se généralise aussi aux ordres supérieurs : le chapitre Comparaison asymptotique et développements limités écrit le reste $h\,\varepsilon(h)$ comme un $o(h)$ et définit les développements limités à tout ordre.

Remarque

La forme (iii) a l'avantage de ne contenir aucune division. C'est elle qui rend propres les démonstrations des règles de calcul, en particulier celle de la dérivée d'une composée, où diviser par $f(x) - f(a)$ serait illégitime.

Remarque

La réciproque de la dernière affirmation est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable. L'écart entre les deux notions est considérable, puisqu'il existe des fonctions continues sur $\mathbb R$ dérivables en aucun point ; on en construit avec des séries de fonctions, après la convergence uniforme.

Repose sur

Dérivabilité en un point

Sert à

Opérations sur les fonctions dérivables Dérivée d'une composée