Définition 1Calcul différentiel

Applications différentiables

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $f : U \to \mathbb R^p$ et $a \in U$ . L'application $f$ est différentiable en $a$ s'il existe $u \in {\mathcal L}(\mathbb R^n, \mathbb R^p)$ et une application $\varepsilon$ , définie au voisinage de $0$ , nulle et continue en $0$ , telles que $f(a + h) = f(a) + u(h) + \|h\|\, \varepsilon(h).$ Grâce à l'équivalence des normes, cette condition ne dépend pas des normes choisies. On note $u = df(a)$ , la différentielle de $f$ en $a$ .

La dérivée partielle $\partial_j f(a)$ est, si elle existe, la limite de $\frac{f(a + te_j) - f(a)}{t}$ quand $t \to 0$ , et la matrice jacobienne $J_f(a)$ est la matrice $p \times n$ de coefficients $\partial_j f_i(a)$ .

Énoncé

(i) Si elle existe, la différentielle est unique, et $f$ est continue en $a$ .

(ii) $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si chacune de ses composantes $f_i$ l'est. Les dérivées partielles existent alors, et $df(a)$ a pour matrice $J_f(a)$ : $df(a)(h) = \sum_j h_j\, \partial_j f(a)$ . Pour $n = 1$ , $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si ses composantes sont dérivables en $a$ , et $df(a)(h) = h f'(a)$ .

(iii) Une application linéaire $u$ est différentiable partout, avec $du(a) = u$ . Une application bilinéaire $B : \mathbb R^n \times \mathbb R^m \to \mathbb R^p$ l'est aussi, avec $dB(x, y)(h, k) = B(h, y) + B(x, k)$ . La différentielle d'une somme est la somme des différentielles.

(iv) Règle de la chaîne. Si $f$ est différentiable en $a$ , à valeurs dans un ouvert $V$ de $\mathbb R^p$ , et si $g : V \to \mathbb R^q$ est différentiable en $f(a)$ , alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $d(g \circ f)(a) = dg(f(a)) \circ df(a),$ ce qui s'écrit matriciellement $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a))\, J_f(a)$ .

Démonstration

(i) Si $u$ et $u'$ conviennent, $(u - u')(h) = \|h\|\,\eta(h)$ avec $\eta$ de limite nulle en $0$ . Pour $h$ fixé non nul et $t > 0$ petit, la linéarité donne $t\,(u - u')(h) = t\|h\|\,\eta(th)$ , donc $(u - u')(h) = \|h\|\,\eta(th)$ , qui tend vers $0$ quand $t \to 0$ : $u = u'$ . Ensuite $\|f(a + h) - f(a)\| \leqslant \big(|||u||| + \|\varepsilon(h)\|\big)\|h\|$ tend vers $0$ .

(ii) Avec $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^p$ , la condition de différentiabilité pour $f$ équivaut à la conjonction des conditions pour ses $p$ composantes. Si $f$ est différentiable, prenons $h = te_j$ : $\begin{aligned} \frac{f(a + te_j) - f(a)}{t} &= u(e_j) \\ &\quad + \frac{|t|}{t}\|e_j\|\,\varepsilon(te_j), \end{aligned}$ qui tend vers $u(e_j)$ ; la $j$ -ième colonne de la matrice de $u$ est donc $\partial_j f(a)$ .

Pour $n = 1$ , la condition s'écrit $\big(f(a + h) - f(a)\big)/h - v = \pm\varepsilon(h)$ avec $v = u(1)$ , c'est-à-dire que le taux d'accroissement tend vers $v$ .

(iii) Pour $u$ linéaire, $\varepsilon = 0$ convient. Pour $B$ bilinéaire, $\begin{aligned} &B(x + h, y + k) - B(x, y) \\ &\quad - B(h, y) - B(x, k) = B(h, k), \end{aligned}$ et, en développant sur les bases, $\begin{aligned} \|B(h, k)\| &\leqslant C\,\|h\|_\infty \|k\|_\infty \\ &\leqslant C\,\|(h, k)\|_\infty^2 \end{aligned}$ avec $C = \sum_{i,j}\|B(e_i, e_j)\|$ , ce qui est de la forme $\|(h, k)\|_\infty\,\varepsilon(h, k)$ . L'énoncé sur les sommes est immédiat.

(iv) Posons $b = f(a)$ , $u = df(a)$ , $w = dg(b)$ , et $k = f(a + h) - b = u(h) + \|h\|\,\varepsilon(h)$ . Alors $\begin{aligned} &g(f(a + h)) - g(b) - w(u(h)) \\ &\quad = \|h\|\, w(\varepsilon(h)) + \|k\|\,\eta(k), \end{aligned}$ où $\eta$ est l'application associée à $g$ en $b$ . On a $\|k\| \leqslant \big(|||u||| + \|\varepsilon(h)\|\big)\|h\|$ , et $k \to 0$ quand $h \to 0$ , donc $\eta(k) \to 0$ . Les deux termes sont de la forme $\|h\|$ fois une quantité qui tend vers $0$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que l'existence des dérivées partielles entraîne la différentiabilité. La fonction $f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)$ , prolongée par $f(0, 0) = 0$ , a des dérivées partielles nulles en $(0, 0)$ , puisqu'elle est nulle sur les deux axes ; pourtant $f(t, t) = 1/2$ pour tout $t \neq 0$ , si bien que $f$ n'est même pas continue en $(0, 0)$ .

Sur la droite

y = mx

privée de l'origine,

f

vaut constamment

m/(1 + m^2)

: ce sont les valeurs inscrites au bout des droites, positives en rouge, négatives en bleu. Les axes, en gris, portent la valeur

0

, d'où les dérivées partielles nulles en

(0, 0)

; mais les valeurs

1/2

-1/2

sont prises arbitrairement près de l'origine, cerclée, où

f

vaut

0

, ce qui interdit la continuité.

Remarque

Le point (ii) relie la différentielle à la dérivée du nœud Dérivabilité : en dimension $1$ , la différentielle est l'application linéaire $h \mapsto h f'(a)$ , et la dérivée est sa matrice $1 \times 1$ .

Repose sur

Espaces métriques et normés

Sert à

Inégalité des accroissements finis