Théorème 1Dérivabilité

Dérivée d'une composée

Énoncé

Soit $I$ et $J$ deux intervalles non réduits à un point, $f : I \to J$ dérivable en $a \in I$ et $g : J \to {\mathbb R}$ dérivable en $f(a)$ . Alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $(g \circ f)'(a) = g'\big(f(a)\big)\, f'(a).$

Démonstration

Par la forme de Carathéodory (Développement à l'ordre 1, (iii)), il existe $\varphi : I \to \mathbb R$ continue en $a$ et $\psi : J \to \mathbb R$ continue en $b = f(a)$ telles que $f(x) - b = \varphi(x)(x - a),$ $g(y) - g(b) = \psi(y)(y - b),$ pour $x \in I$ et $y \in J$ , avec $\varphi(a) = f'(a)$ et $\psi(b) = g'(b)$ .

En prenant $y = f(x)$ , on obtient $\begin{aligned} &g(f(x)) - g(f(a)) \\ &\quad = \psi(f(x))\,\big(f(x) - b\big) \\ &\quad = \psi(f(x))\,\varphi(x)\,(x - a). \end{aligned}$

La fonction $\psi \circ f$ est continue en $a$ , car $f$ est continue en $a$ et $\psi$ en $f(a)$ (Limite en un point, (v)) ; le produit $(\psi \circ f)\varphi$ l'est donc aussi, et vaut $g'(f(a))f'(a)$ en $a$ . La forme de Carathéodory donne la conclusion.

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Remarque

Pour $h(x) = (1 + x^2)^5$ , on compose $f(x) = 1 + x^2$ , de dérivée $2x$ , et $g(y) = y^5$ , de dérivée $5y^4$ : $h'(x) = 5(1 + x^2)^4 \cdot 2x = 10x(1 + x^2)^4.$ On évite ainsi de développer un polynôme de degré $10$ ; le calcul direct, fait terme à terme, donne bien le même résultat.

Remarque

L'erreur la plus répandue est la démonstration naïve qui écrit $\begin{aligned} &\frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x - a} \\ &\quad = \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{f(x) - f(a)} \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x - a}. \end{aligned}$ Elle divise par $f(x) - f(a)$ , qui peut s'annuler pour des $x$ arbitrairement proches de $a$ . Ainsi la fonction égale à $x^2$ sur les rationnels et à $0$ sur les irrationnels est dérivable en $0$ , de nombre dérivé nul puisque $|f(x)| \leqslant x^2$ , et elle vaut $f(0)$ en tout irrationnel. La forme de Carathéodory contourne la difficulté sans distinguer de cas.

Remarque

En plusieurs variables, la même formule devient la règle de la chaîne pour les différentielles : la composée des approximations linéaires est l'approximation linéaire de la composée.

Repose sur

Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Sert à

Dérivée d'une fonction réciproque