Théorème 2Dérivabilité

Dérivée d'une fonction réciproque

Énoncé

Soit $I$ un intervalle non réduit à un point, $f : I \to {\mathbb R}$ continue et strictement monotone, $J = f(I)$ , $a \in I$ et $b = f(a)$ .

(i) Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) \neq 0$ , alors la bijection réciproque $f^{-1} : J \to I$ est dérivable en $b$ , et $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)}.$

(ii) Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 0$ , alors $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ .

Démonstration

Par le théorème de la bijection (Bijection continue), $J$ est un intervalle, $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ , et $f^{-1}$ est continue sur $J$ . L'intervalle $J$ n'est pas réduit à un point, puisque $f$ est injective et que $I$ en a au moins deux.

(i) Soit $\varphi : I \to \mathbb R$ continue en $a$ , avec $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ et $\varphi(a) = f'(a)$ (Développement à l'ordre 1, (iii)). Pour $x \neq a$ , on a $f(x) \neq f(a)$ par injectivité, donc $\varphi(x) \neq 0$ ; et $\varphi(a) = f'(a) \neq 0$ .

Pour $y \in J$ , appliquons l'égalité à $x = f^{-1}(y)$ : $y - b = \varphi\big(f^{-1}(y)\big)\,\big(f^{-1}(y) - f^{-1}(b)\big),$ d'où $f^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}\,(y - b).$

La fonction $y \mapsto \varphi(f^{-1}(y))$ est continue en $b$ , comme composée de $f^{-1}$ , continue en $b$ , et de $\varphi$ , continue en $f^{-1}(b) = a$ ; elle ne s'annule pas, donc son inverse est continu en $b$ (Limite en un point, (iv) et (v)), et vaut $1/f'(a)$ en $b$ . La forme de Carathéodory conclut.

(ii) Si $f^{-1}$ était dérivable en $b$ , la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée), appliquée à $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_I$ , donnerait $1 = (f^{-1})'(b)\, f'(a) = 0$ .

□

Remarque

La fonction $f(x) = x^3$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb R$ , et $f(\mathbb R) = \mathbb R$ . Sa réciproque est la racine cubique. Comme $f'(x) = 3x^2$ , elle est dérivable en tout $y \neq 0$ , de nombre dérivé $\dfrac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2}$ , par exemple $\frac1{12}$ en $y = 8$ ; mais elle n'est pas dérivable en $0$ , puisque $f'(0) = 0$ .

Géométriquement, la tangente horizontale du graphe de $x^3$ à l'origine devient, par symétrie par rapport à la première bissectrice, la tangente verticale du graphe de la racine cubique.

Le graphe de

f(x) = x^3

, en bleu, et celui de sa réciproque, en vert, sont symétriques par rapport à la droite

y = x

. La symétrie échange les deux coordonnées et change donc une pente

p

1/p

: au point d'abscisse

a = 2/\sqrt3

, où

f'(a) = 4

, répond le point symétrique, où la pente vaut

\frac14

; à l'origine, la tangente horizontale de

f

devient la tangente verticale de

f^{-1}

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier que la formule porte sur deux points différents : $(f^{-1})'(b)$ se calcule avec $f'$ au point $f^{-1}(b)$ , et non au point $b$ . Pour la racine cubique en $8$ , il faut $f'(2) = 12$ , et non $f'(8) = 192$ .

Remarque

C'est ce théorème qui donnera la dérivée de l'exponentielle, réciproque du logarithme (Exponentielle, (ii)), et celle de la tangente, réciproque de l'arc tangente (Tangente, cos et sin, (i)), aux chapitres de l'analyse réelle qui construisent ces fonctions.

Repose sur

Dérivée d'une composée

Sert à

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