Définition 1Comparaisons et développements limités

Relations de comparaison au voisinage d'un point

Ce chapitre compare deux fonctions au voisinage d'un point, dans un cadre qui couvre à la fois les fonctions d'une variable réelle et les suites. On se donne une partie $D$ de ${\mathbb R}$ et un point $a$ dans l'un des trois cas suivants, chacun muni de ses voisinages relatifs.

(a) $a$ est un réel adhérent à $D \setminus \{a\}$ ; les voisinages relatifs de $a$ sont les ensembles $D \cap \,]a - \delta, a + \delta[$ , pour $\delta > 0$ . Le point $a$ peut appartenir à $D$ ou non.

(b) $a = +\infty$ , et $D$ contient une demi-droite $[A_0, +\infty[$ ; les voisinages relatifs sont les demi-droites $[B, +\infty[$ , pour $B \geqslant A_0$ . De même pour $a = -\infty$ , avec $]{-\infty}, A_0] \subset D$ et les $]{-\infty}, B]$ , pour $B \leqslant A_0$ .

(c) $D = \{n \in {\mathbb N} : n \geqslant N_0\}$ et $a = +\infty$ ; les voisinages relatifs sont les ensembles $\{n \in \mathbb N : n \geqslant N\}$ , pour $N \geqslant N_0$ . C'est le cas des suites réelles, éventuellement définies à partir d'un rang $N_0$ .

Une propriété $P(x)$ est vraie au voisinage de $a$ s'il existe un voisinage relatif $V$ de $a$ tel que $P(x)$ soit vraie pour tout $x \in V$ . Dans le cas (c), cela revient à dire qu'elle est vraie à partir d'un certain rang.

Deux voisinages relatifs de $a$ en contiennent un troisième, celui qui correspond au plus petit des deux $\delta$ ou au plus grand des deux seuils : deux propriétés vraies au voisinage de $a$ le sont donc simultanément, et, par récurrence, un nombre fini d'entre elles aussi. De plus, un voisinage relatif $V$ de $a$ est lui-même une partie à laquelle le cadre s'applique, avec le même point $a$ , et les voisinages relatifs de $a$ dans $V$ sont des voisinages relatifs de $a$ dans $D$ ; on peut donc toujours remplacer $D$ par un voisinage relatif de $a$ sans rien changer à ce qui est vrai au voisinage de $a$ . Plus généralement, soit $D' \subset D$ telle que le même point $a$ relève du cadre pour $D'$ ; dans les cas (b) et (c), les voisinages relatifs de $a$ dans $D'$ sont des voisinages relatifs dans $D$ , et dans le cas (a) ce sont les intersections avec $D'$ de ceux de $D$ . Une propriété vraie au voisinage de $a$ dans $D$ l'est donc encore, pour la restriction à $D'$ , au voisinage de $a$ dans $D'$ ; il en va de même des relations définies ci-dessous, qui passent aux restrictions.

Les limites des nœuds Limite en un point et Suite convergente, limite s'écrivent dans ce langage. Une fonction $g : D \to \mathbb R$ tend vers le réel $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour tout $\varepsilon > 0$ , l'inégalité $|g(x) - \ell| < \varepsilon$ est vraie au voisinage de $a$ ; elle tend vers $+\infty$ si et seulement si, pour tout réel $A$ , l'inégalité $g(x) > A$ l'est, et vers $-\infty$ si $g(x) < A$ l'est. Dans le cas (b), c'est la limite en $\pm\infty$ de la restriction de $g$ à la demi-droite ; dans le cas (c), celle de la suite $(g(n))_{n \geqslant N_0}$ .

Énoncé

Soit $f, g : D \to \mathbb R$ .

On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ , et l'on écrit $f = {O}(g)$ , ou $f(x) = O(g(x))$ quand $x \to a$ , s'il existe un réel $C \geqslant 0$ tel que l'inégalité $|f(x)| \leqslant C\,|g(x)|$ soit vraie au voisinage de $a$ .

On dit que $f$ est négligeable devant $g$ , et l'on écrit $f = {o}(g)$ , si, pour tout $\varepsilon > 0$ , l'inégalité $|f(x)| \leqslant \varepsilon\,|g(x)|$ est vraie au voisinage de $a$ .

On dit que $f$ est équivalente à $g$ , et l'on écrit $f \mathrel{{\sim}} g$ , si $f - g = o(g)$ .

Pour des suites, on écrit $u_n = O(v_n)$ , $u_n = o(v_n)$ et $u_n \sim v_n$ , toujours en $+\infty$ . Enfin, $f = h + o(g)$ signifie $f - h = o(g)$ , et de même avec $O$ .

(i) Si $f = o(g)$ , alors $f = O(g)$ .

(ii) Limites. Soit $\ell$ un réel. La fonction $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si $f - \ell = o(1)$ , où $1$ désigne la fonction constante ; $f = O(1)$ si et seulement si $f$ est bornée au voisinage de $a$ . Si $\ell \neq 0$ , $f$ tend vers $\ell$ si et seulement si $f \sim \ell$ .

(iii) Quotients. Supposons qu'il existe un voisinage relatif $V$ de $a$ tel que $g$ ne s'annule en aucun point de $W = V \setminus \{a\}$ . Alors :

- $f = o(g)$ si et seulement si $f(x)/g(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$ dans $W$ et, lorsque $a \in D$ , $f(a) = 0$ ; - $f \sim g$ si et seulement si $f(x)/g(x)$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $a$ dans $W$ et, lorsque $a \in D$ , $f(a) = g(a)$ ; - $f = O(g)$ si et seulement si $f/g$ est bornée au voisinage de $a$ dans $W$ et, lorsque $a \in D$ et $g(a) = 0$ , $f(a) = 0$ .

Démonstration

Dans (iii), $W$ relève du cadre avec le même point $a$ : dans le cas (a), tout intervalle $]a - \eta, a + \eta[$ avec $\eta \leqslant \delta$ rencontre $D \setminus \{a\}$ , donc $W$ ; dans les cas (b) et (c), $W = V$ . Les voisinages relatifs de $a$ dans $W$ sont les intersections de $W$ avec ceux de $a$ dans $D$ .

(i) On prend $\varepsilon = 1$ et $C = 1$ .

(ii) Si $f \to \ell$ et $\varepsilon > 0$ , l'inégalité $|f(x) - \ell| < \varepsilon$ , donc $|f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon \cdot 1$ , est vraie au voisinage de $a$ . Réciproquement, si $f - \ell = o(1)$ , l'inégalité $|f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon/2 < \varepsilon$ l'est pour tout $\varepsilon > 0$ . La deuxième affirmation est la définition de $O$ avec $g = 1$ . Pour la troisième, $f \sim \ell$ signifie que $|f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon|\ell|$ est vraie au voisinage de $a$ pour tout $\varepsilon > 0$ ; comme $\ell \neq 0$ , $\varepsilon|\ell|$ parcourt tous les réels strictement positifs quand $\varepsilon$ les parcourt, et c'est la condition $f - \ell = o(1)$ .

(iii) Le cas de $o$ . Supposons $f = o(g)$ et soit $\varepsilon > 0$ . L'inégalité $|f(x)| \leqslant \frac\varepsilon2 |g(x)|$ est vraie sur un voisinage relatif $V_1$ de $a$ ; pour $x \in V_1 \cap W$ , on peut diviser par $|g(x)| > 0$ , et $|f(x)/g(x)| \leqslant \frac\varepsilon2 < \varepsilon$ . Ainsi $f/g$ tend vers $0$ dans $W$ . Si $a \in D$ , le point $a$ est dans tout voisinage relatif, donc $|f(a)| \leqslant \varepsilon|g(a)|$ pour tout $\varepsilon > 0$ , ce qui force $f(a) = 0$ , que $g(a)$ soit nul ou non.

Réciproquement, soit $\varepsilon > 0$ et $V_2$ un voisinage relatif de $a$ tel que $|f(x)/g(x)| < \varepsilon$ pour $x \in V_2 \cap W$ . Sur un voisinage relatif contenu dans $V \cap V_2$ , tout point $x$ est soit dans $W$ , et alors $|f(x)| \leqslant \varepsilon|g(x)|$ , soit égal à $a$ , et alors $|f(a)| = 0 \leqslant \varepsilon|g(a)|$ .

Le cas de $\sim$ . Il suffit d'appliquer le cas précédent à $f - g$ , puisque $(f - g)/g = f/g - 1$ .

Le cas de $O$ . Si $|f| \leqslant C|g|$ au voisinage de $a$ , alors $|f/g| \leqslant C$ au voisinage de $a$ dans $W$ , et $|f(a)| \leqslant C \cdot 0$ si $a \in D$ et $g(a) = 0$ . Réciproquement, si $|f/g| \leqslant C$ sur $V_3 \cap W$ pour un voisinage relatif $V_3$ , alors $|f| \leqslant C|g|$ sur $V_3 \cap W$ ; si $a \in D$ , on a $|f(a)| \leqslant C'|g(a)|$ avec $C' = C$ lorsque $g(a) = 0$ , puisqu'alors $f(a) = 0$ , et $C' = \max\big(C, |f(a)|/|g(a)|\big)$ sinon. L'inégalité $|f| \leqslant C'|g|$ est donc vraie sur un voisinage relatif contenu dans $V \cap V_3$ .

□

Remarque

Le signe « $=$ » de la notation trompe : $f = o(g)$ est une relation entre $f$ et $g$ , non une égalité entre deux fonctions. En $0$ , on a $x = o(1)$ et $x^2 = o(1)$ , sans que $x$ et $x^2$ soient égaux. Il faut lire « $f$ appartient à l'ensemble des fonctions négligeables devant $g$ », et ne jamais simplifier deux $o$ de part et d'autre d'une égalité.

Remarque

Le point $a$ fait partie de la relation. Quand $x \to +\infty$ , on a $x = o(x^2)$ et $x^2 + 3x \sim x^2$ ; quand $x \to 0$ , au contraire, $x^2 = o(x)$ et $x^2 + 3x \sim 3x$ . En $0$ , l'inégalité $x^2 \leqslant \varepsilon |x|$ équivaut à $|x| \leqslant \varepsilon$ : elle est vraie sur l'intervalle $]{-\varepsilon}, \varepsilon[$ , qui rétrécit avec $\varepsilon$ , et c'est ce que demande la définition de $o$ .

Le graphe de

x \mapsto x^2

, en rouge, reste dans le secteur bleu

|y| \leqslant \frac12|x|

exactement pour

|x| \leqslant \frac12

, et dans le secteur vert, plus étroit,

|y| \leqslant \frac14|x|

exactement pour

|x| \leqslant \frac14

. Pour chaque

\varepsilon

, il y a un voisinage de

0

où

x^2 \leqslant \varepsilon|x|

: c'est la relation

x^2 = o(x)

0

Remarque

Deux fonctions peuvent se dominer l'une l'autre sans être équivalentes. Quand $x \to +\infty$ , la fonction $f(x) = x(2 + \sin x)$ vérifie $|x| \leqslant |f(x)| \leqslant 3|x|$ , donc $f = O(x)$ et $x = O(f)$ . Pourtant le quotient $f(x)/x = 2 + \sin x$ vaut $2$ en chaque $2k\pi$ et $3$ en chaque $\frac\pi2 + 2k\pi$ , par la périodicité du sinus (Formules d'addition, (iv) et (v)) : il n'a pas de limite, et $f$ n'est équivalente à aucun $cx$ .

Remarque

La lettre $O$ apparaît chez Paul Bachmann, Die analytische Zahlentheorie (1894) ; Edmund Landau l'a reprise dans son Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (1909), où il définit aussi $o$ et $\sim$ , et ces notations portent souvent son nom. L'équivalent le plus célèbre est celui du théorème des nombres premiers, $\pi(x) \sim x/\ln x$ .

Repose sur

Dérivabilité

Sert à

Règles de calcul sur les relations de comparaison