Le théorème des nombres premiers

(i) Soit $f(t) = \theta(e^t)e^{-t} - 1$, bornée par $1 + \ln 4$ (Majoration de Tchebychev) et continue par morceaux, ses sauts étant aux $\ln p$. Pour $\operatorname{Re} z > 0$, le changement de variable $x = e^t$ (Sommation d'Abel, (ii)) et Fonction Φ, (iii), donnent $$\begin{aligned} &\int_0^{+\infty} f(t)e^{-zt}\,dt \\ &\quad = \frac{\Phi(z + 1)}{z + 1} - \frac1z \\ &\quad = \frac{\Phi(z + 1) - \frac1z}{z + 1} - \frac{1}{z + 1}. \end{aligned}$$ Par ζ sur Re s = 1, (ii), le dernier membre est holomorphe sur un ouvert contenant $\operatorname{Re} z \geqslant 0$.

Le théorème de Newman (Théorème de Newman) montre que $\int_0^{+\infty} f$ converge ; le changement de variable inverse donne (i).

(ii) Soit $\lambda > 1$, et supposons $\theta(x) \geqslant \lambda x$ pour des $x$ arbitrairement grands. Comme $\theta$ est croissante, pour un tel $x$, par le changement de variable $t = xu$, $$\begin{aligned} &\int_x^{\lambda x} \frac{\theta(t) - t}{t^2}\,dt \\ &\quad \geqslant \int_x^{\lambda x} \frac{\lambda x - t}{t^2}\,dt \\ &\quad = \int_1^\lambda \frac{\lambda - u}{u^2}\,du \\ &\quad = \lambda - 1 - \ln\lambda, \end{aligned}$$ constante strictement positive (Logarithme, puissances, (ii)), ce qui contredit le critère de Cauchy pour l'intégrale (i).

De même, si $\lambda < 1$ et $\theta(x) \leqslant \lambda x$ pour des $x$ arbitrairement grands, $$\begin{aligned} &\int_{\lambda x}^x \frac{\theta(t) - t}{t^2}\,dt \\ &\quad \leqslant \int_\lambda^1 \frac{\lambda - u}{u^2}\,du \\ &\quad = 1 - \lambda + \ln\lambda < 0. \end{aligned}$$ Donc $\theta(x)/x \to 1$.

(iii) D'une part $\theta(x) \leqslant \pi(x)\ln x$. D'autre part, pour $0 < \varepsilon < 1$, en ne gardant que les $p > x^{1-\varepsilon}$, $$\begin{aligned} \theta(x) &\geqslant (1 - \varepsilon)\ln x \\ &\quad \times \big(\pi(x) - x^{1-\varepsilon}\big), \end{aligned}$$ d'où $$\frac{\pi(x)\ln x}{x} \leqslant \frac{1}{1 - \varepsilon}\,\frac{\theta(x)}{x} + \frac{\ln x}{x^\varepsilon}.$$ Par (ii) et Logarithme, puissances, (ii), le rapport $\pi(x)\ln x / x$ a une limite inférieure $\geqslant 1$ et une limite supérieure $\leqslant \frac1{1 - \varepsilon}$ pour tout $\varepsilon$ : il tend vers $1$.