Proposition 1Théorie analytique des nombres

Logarithme réel et puissances complexes

Le logarithme $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ (Logarithme) et l'exponentielle réelle, sa réciproque (Exponentielle), sont ceux de l'analyse réelle ; sur ${\mathbb R}$ , l'exponentielle complexe coïncide avec la seconde (Exponentielle, (iv)). Ce nœud rappelle ce que la théorie analytique des nombres en emploie, et y ajoute les puissances complexes : pour $x > 0$ et $s \in {\mathbb C}$ , on pose $x^s = \exp(s \ln x)$ , où $\exp$ est l'exponentielle complexe ; pour $s$ réel, c'est la puissance réelle du nœud Puissances réelles.

Énoncé

(i) $\exp$ est une bijection de $\mathbb R$ sur $]0, +\infty[$ ; $\ln$ est continue, dérivable, $\ln' (x) = 1/x$ , $\ln 1 = 0$ et $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ .

(ii) Pour tout réel $y$ , $\exp y \geqslant 1 + y$ , avec égalité seulement en $0$ . Par suite $\ln x \leqslant x - 1$ et, pour $x \geqslant 1$ et $\varepsilon > 0$ , $\ln x \leqslant x^\varepsilon/\varepsilon$ ; en particulier \ln x / x^\varepsilon \to 0 quand $x \to +\infty$ .

(iii) $x^{s+t} = x^s x^t$ , $(xy)^s = x^s y^s$ , $|x^s| = x^{\operatorname{Re} s}$ , $\overline{x^s} = x^{\bar s}$ , et $x^s$ coïncide avec la puissance usuelle si $s$ est entier. La fonction $x \mapsto x^s$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ , de dérivée $s\,x^{s-1}$ , et $s \mapsto x^s$ est holomorphe sur $\mathbb C$ , de dérivée $\ln x \cdot x^s$ .

Démonstration

(i) C'est le nœud Logarithme, (i), (ii) et (iv), et le nœud Exponentielle, (i).

(ii) La première assertion et l'inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ sont le point (i) du nœud Croissances comparées. Appliquée à $x^\varepsilon$ , cette inégalité donne $\varepsilon\ln x = \ln(x^\varepsilon) \leqslant x^\varepsilon - 1 < x^\varepsilon$ (Puissances réelles, (i)). La limite est le point (iii) du nœud Croissances comparées.

(iii) Les trois premières formules découlent de $\exp(a + b) = \exp a \exp b$ (Exponentielle, (ii)), de (i) et de $|\exp(a + ib)| = \exp a\,|\exp(ib)| = \exp a$ (Exponentielle, (iii) et (iv)) ; la conjugaison commute avec $\exp$ .

Si $s = m$ est entier, $\exp(m \ln x) = \exp(\ln x)^m = x^m$ . Les dérivées viennent de la règle de dérivation d'une composée (Fonctions holomorphes).

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Remarque

Le logarithme complexe n'est pas défini ici : il ne peut l'être continûment sur $\mathbb C \setminus \{0\}$ , puisque le tour du cercle augmente l'argument de $2\pi$ . On n'en aura besoin que sur le demi-plan $\operatorname{Re} z < 0$ , sous la forme d'une primitive de $1/z$ , au nœud Théorème de Newman.

Repose sur

Analyse complexe

Sert à

La fonction zêta de Riemann et son prolongement La majoration θ(x) ≤ x ln 4 Le théorème taubérien de Newman