La fonction zêta de Riemann et son prolongement

(i) $|n^{-s}| = n^{-\sigma} \leqslant n^{-\sigma_0}$, et, par Sommation d'Abel, (iv), $$\begin{aligned} \sum_{n \geqslant 2} n^{-\sigma_0} &\leqslant \int_1^{+\infty} x^{-\sigma_0}\,dx \\ &= \frac{1}{\sigma_0 - 1}. \end{aligned}$$ Chaque terme est holomorphe (Logarithme, puissances, (iii)) ; le critère de Weierstrass et le nœud Limites holomorphes concluent, y compris pour la dérivée.

(ii) Pour $\operatorname{Re} s > 1$, $$\int_1^N x^{-s}\,dx = \frac{1 - N^{1-s}}{s - 1}$$ tend vers $\frac1{s - 1}$, puisque $|N^{1-s}| = N^{1-\sigma}$. Donc $$\zeta(s) - \frac1{s - 1} = \sum_{n \geqslant 1} \varphi_n(s),$$ $$\varphi_n(s) = \int_n^{n+1} \big(n^{-s} - x^{-s}\big)\,dx.$$ Chaque $\varphi_n(s) = n^{-s} - \int_n^{n+1} x^{-s}\,dx$ est holomorphe sur ${\mathbb C}$ : le premier terme par Logarithme, puissances, (iii), le second par Limites holomorphes, (ii), avec $h = 1$ et $\lambda(x) = -\ln x$.

Pour $x \in [n, n + 1]$ et $\sigma > 0$, $$n^{-s} - x^{-s} = s\int_n^x u^{-s-1}\,du$$ est de module au plus $|s|\,n^{-\sigma-1}$, d'où $|\varphi_n(s)| \leqslant |s|\,n^{-\sigma-1}$. La série $\sum \varphi_n$ converge donc uniformément sur tout disque fermé contenu dans $\operatorname{Re} s > 0$, vers une fonction holomorphe $\zeta_0$.

On pose $Z(s) = 1 + (s - 1)\zeta_0(s)$, qui prolonge $(s - 1)\zeta(s)$ et vaut $1$ en $1$ ; c'est la formule de l'énoncé, et $\frac{Z(s)}{s - 1}$, quotient de fonctions holomorphes dont le dénominateur ne s'annule qu'en $1$, est holomorphe hors de $1$ (Dérivabilité complexe, (ii)) et égal à $\zeta(s)$ pour $\operatorname{Re} s > 1$. Enfin $\varphi_n(\bar s) = \overline{\varphi_n(s)}$, puisque $x^{\bar s} = \overline{x^s}$.