Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1

(i) Comme $|p^{-s}| < 1$, on a (Suites et séries complexes, (iii)) : $$(1 - p^{-s})^{-1} = \sum_{k \geqslant 0} p^{-ks}.$$

Pour $K$ fixé, en développant le produit fini $$\prod_{p \leqslant N} \sum_{k \leqslant K} p^{-ks},$$ et puisque $(p^k q^l)^{-s} = p^{-ks}q^{-ls}$, on obtient $\sum_{n \in S} n^{-s}$, où $S$ est l'ensemble des entiers dont les facteurs premiers sont $\leqslant N$ et d'exposants $\leqslant K$ : l'unicité de la décomposition en facteurs premiers (Nombres premiers) garantit que chaque $n$ apparaît une fois.

Pour $K$ assez grand, $S$ contient $\{1, \dots, N\}$, et $$\begin{aligned} &\Big|\sum_{n \in S} n^{-s} - \sum_{n \leqslant N} n^{-s}\Big| \\ &\qquad \leqslant \sum_{n > N} n^{-\sigma}. \end{aligned}$$ En faisant tendre $K$ vers l'infini, $$\begin{aligned} &|P_N(s) - \sum_{n \leqslant N} n^{-s}| \\ &\qquad \leqslant \sum_{n > N} n^{-\sigma}, \end{aligned}$$ et l'on ajoute le reste de la série qui définit $\zeta$ (Fonction ζ).

(ii) On a $$\begin{aligned} |1 - p^{-s}| &\leqslant 1 + p^{-\sigma} \\ &\leqslant (1 - p^{-\sigma})^{-1}, \end{aligned}$$ donc $|P_N(s)|^{-1} \leqslant P_N(\sigma)$. Par le calcul de (i) à termes positifs, $P_N(\sigma) \leqslant \zeta(\sigma)$. Donc $|P_N(s)| \geqslant 1/\zeta(\sigma)$, et l'inégalité passe à la limite.

(iii) La dérivée logarithmique d'un produit fini est la somme des dérivées logarithmiques ; celle de $(1 - p^{-s})^{-1}$ est $$-\frac{\ln p \cdot p^{-s}}{1 - p^{-s}} = -\frac{\ln p}{p^s - 1}.$$ Par (i) et le lemme de Weierstrass (Limites holomorphes), $P_N \to \zeta$ et $P_N' \to \zeta'$, avec $\zeta \neq 0$ par (ii) ; donc $P_N'/P_N \to \zeta'/\zeta$.

(iv) Pour $s = 1$, le calcul de (i), à termes positifs, donne $$\begin{aligned} P_N(1) &\geqslant \sum_{n \leqslant N} \frac1n \\ &\geqslant \int_1^{N+1} \frac{dx}{x} = \ln(N + 1). \end{aligned}$$ D'autre part, pour $0 \leqslant x \leqslant \frac12$, $$-\ln(1 - x) = \int_0^x \frac{dt}{1 - t} \leqslant 2x.$$ Donc $\ln P_N(1) \leqslant 2\sum_{p \leqslant N} \frac1p$, qui tend vers l'infini.