La fonction Φ et la dérivée logarithmique de ζ

(i) Par Logarithme, puissances, (ii), $\ln p \leqslant p^\varepsilon/\varepsilon$.

Sur $\operatorname{Re} s \geqslant \sigma_0 > 1$, avec $\varepsilon = (\sigma_0 - 1)/2$, $$|\ln p \cdot p^{-s}| \leqslant \frac1\varepsilon p^{-1-\varepsilon},$$ terme d'une série convergente.

Sur $\operatorname{Re} s \geqslant \sigma_0 > \frac12$, $$|p^s - 1| \geqslant p^{\sigma_0} - 1 \geqslant c\,p^{\sigma_0}$$ avec $c = 1 - 2^{-1/2}$, donc le terme de $\psi$ est majoré par $\frac{1}{c\varepsilon} p^{\varepsilon - 2\sigma_0}$, sommable pour $\varepsilon = \sigma_0 - \frac12$.

Le lemme de Weierstrass (Limites holomorphes) conclut.

(ii) On a $$\frac{\ln p}{p^s - 1} - \frac{\ln p}{p^s} = \frac{\ln p}{p^s(p^s - 1)} :$$ par le produit eulérien (Produit eulérien, (iii)), $\Phi = -\zeta'/\zeta - \psi$. Et $\zeta(s) = Z(s)/(s - 1)$ donne $\zeta'/\zeta = Z'/Z - \frac1{s - 1}$.

(iii) Appliquons la sommation d'Abel (Sommation d'Abel, (iii)) avec $a_n = \ln n$ si $n$ est premier, $0$ sinon, de sorte que $A = \theta$, et $\varphi(t) = t^{-s}$ : $$\begin{aligned} \sum_{p \leqslant x} \ln p \cdot p^{-s} &= \theta(x)\,x^{-s} \\ &\quad + s\int_1^x \theta(t)\,t^{-s-1}\,dt. \end{aligned}$$ Par la majoration de Tchebychev (Majoration de Tchebychev), $|\theta(x)x^{-s}| \leqslant \ln 4 \cdot x^{1-\sigma} \to 0$, et $|\theta(t)t^{-s-1}| \leqslant \ln 4 \cdot t^{-\sigma}$, dont l'intégrale converge : on fait tendre $x$ vers l'infini.