ζ ne s'annule pas sur la droite Re s = 1

(i) Pour $\operatorname{Re} s > 1$, $\zeta(s) \neq 0$ (Produit eulérien), et $Z(1) = 1$. Soit $\alpha \neq 0$ et supposons $Z(1 + i\alpha) = 0$.

Ordres. $Z$ n'est pas identiquement nulle sur l'ouvert connexe $\operatorname{Re} s > 0$, puisque $Z(2) \neq 0$. En un point $s_0$, son développement en série entière (Analyticité) a donc un coefficient non nul, sans quoi $Z$ serait nulle sur un disque, et partout par le principe des zéros isolés (Zéros isolés).

Soit $k \geqslant 0$ l'indice du premier coefficient non nul, l'ordre de $s_0$ : $Z(s) = (s - s_0)^k h(s)$ avec $h$ holomorphe près de $s_0$ et $h(s_0) \neq 0$. Alors $$\frac{Z'}{Z}(s) = \frac{k}{s - s_0} + \frac{h'}{h}(s),$$ et, pour $\varepsilon > 0$ tendant vers $0$, $\varepsilon\frac{Z'}{Z}(s_0 + \varepsilon) \to k$.

Notons $\mu \geqslant 1$ l'ordre de $1 + i\alpha$ et $\nu \geqslant 0$ celui de $1 + 2i\alpha$ ; par la symétrie $Z(\bar s) = \overline{Z(s)}$, les points $1 - i\alpha$ et $1 - 2i\alpha$ ont les mêmes ordres, et $1$ est d'ordre $0$.

Limites. Pour $r \in \{-2, \dots, 2\}$ et $s_r = 1 + \varepsilon + ir\alpha$, la formule Fonction Φ, (ii), donne $$\begin{aligned} \varepsilon\Phi(s_r) = {}&-\varepsilon\frac{Z'}{Z}(s_r) \\ &+ \frac{\varepsilon}{\varepsilon + ir\alpha} - \varepsilon\psi(s_r), \end{aligned}$$ qui tend vers $1$ pour $r = 0$, vers $-\mu$ pour $r = \pm 1$, et vers $-\nu$ pour $r = \pm 2$.

Positivité. Pour $p$ premier, posons $w = p^{i\alpha/2}$, de module $1$, de sorte que $\bar w = w^{-1}$ et $w^{-2r} = p^{-ir\alpha}$. En développant $$\begin{aligned} &(w + w^{-1})^4 \\ &\quad = w^4 + 4w^2 + 6 + 4w^{-2} + w^{-4}, \end{aligned}$$ on obtient $$\begin{aligned} &\sum_{r=-2}^{2} \binom{4}{2 + r}\Phi(s_r) \\ &\quad = \sum_p \frac{\ln p}{p^{1+\varepsilon}}\,(w + \bar w)^4 \\ &\quad \geqslant 0, \end{aligned}$$ puisque $w + \bar w = 2\operatorname{Re} w$ est réel. En multipliant par $\varepsilon$ et en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, on obtient $6 - 8\mu - 2\nu \geqslant 0$, ce qui est impossible pour $\mu \geqslant 1$.

(ii) L'ensemble $$W = \{s : \operatorname{Re} s > \frac12,\ Z(s) \neq 0\}$$ est ouvert, par continuité de $Z$, et contient $\operatorname{Re} s \geqslant 1$ par (i). Sur $W$, $-Z'/Z - \psi$ est holomorphe, et coïncide avec $\Phi(s) - \frac1{s - 1}$ sur $\operatorname{Re} s > 1$.