Théorème 3Théorème des résidus

Singularités isolées et prolongement de Riemann

Soit $U$ un ouvert, $a \in U$ et $f$ holomorphe sur $U \setminus \{a\}$ : on dit que $a$ est une singularité isolée de $f$ . Pour $r > 0$ tel que $D(a, r) \subset U$ , $f$ est holomorphe sur la couronne $A(a; 0, r)$ et y a des coefficients de Laurent $c_n$ (Séries de Laurent). Ils ne dépendent pas de $r$ , puisque la formule (i) de ce nœud peut être prise avec un rayon $\rho$ aussi petit qu'on veut. La série $\sum_{n \geqslant 1} c_{-n}(z - a)^{-n}$ est la partie principale de $f$ en $a$ .

La singularité est fausse (on dit aussi éliminable) si $c_{-n} = 0$ pour tout $n \geqslant 1$ . C'est un pôle d'ordre $m \geqslant 1$ si $c_{-m} \neq 0$ et $c_{-n} = 0$ pour $n > m$ ; un pôle d'ordre $1$ est dit simple. C'est une singularité essentielle si $c_{-n} \neq 0$ pour une infinité d'entiers $n$ . Ces trois cas s'excluent et épuisent toutes les possibilités.

Si $h$ est holomorphe au voisinage de $a$ et $h(a) = 0$ , l'ordre du zéro $a$ est le plus petit entier $k$ tel que $h^{(k)}(a) \neq 0$ , s'il existe ; on dit aussi multiplicité.

Énoncé

(i) Ordre d'un zéro. Soit $h$ holomorphe sur un disque $D(a, r)$ , non identiquement nulle sur ce disque, avec $h(a) = 0$ . Sur tout le disque $D(a, r)$ , $h$ est la somme de sa série de Taylor $\sum_n \frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n$ . Le zéro $a$ a un ordre fini $k \geqslant 1$ , et $h(z) = (z - a)^k u(z)$ , où $u$ est holomorphe sur $D(a, r)$ et $u(a) = \frac{h^{(k)}(a)}{k!} \neq 0$ . En particulier, $u$ ne s'annule pas sur un disque $D(a, r')$ , $0 < r' \leqslant r$ .

(ii) Théorème de prolongement de Riemann. Pour $f$ holomorphe sur $U \setminus \{a\}$ , il y a équivalence entre :

(a) $a$ est une fausse singularité de $f$ ;

(b) $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $U$ ;

(d) $(z - a)f(z) \to 0$ quand $z \to a$ .

Démonstration

(i) Pour $r' < r$ , le disque fermé $\overline D(a, r')$ est contenu dans $D(a, r)$ , et $h$ y est la somme de sa série de Taylor $\sum_n c_n(z - a)^n$ (Analyticité), avec $c_n = \frac{h^{(n)}(a)}{n!}$ (Dérivation terme à terme). Les coefficients ne dépendent pas de $r'$ : le développement vaut sur tout $D(a, r)$ .

Si tous les $c_n$ étaient nuls, $h$ serait nulle sur $D(a, r)$ . Soit donc $k$ le plus petit entier tel que $c_k \neq 0$ ; on a $k \geqslant 1$ , puisque $c_0 = h(a) = 0$ . La série $u(z) = \sum_{n \geqslant k} c_n(z - a)^{n-k}$ a le même rayon, les suites $(c_n\rho^n)$ et $(c_n\rho^{n-k})$ étant bornées en même temps ; elle est holomorphe sur $D(a, r)$ , vérifie $(z - a)^k u(z) = h(z)$ et $u(a) = c_k \neq 0$ . Par continuité, $u$ ne s'annule pas près de $a$ .

(ii) (b) ⇒ (c). Le prolongement est continu en $a$ , donc borné sur un disque assez petit centré en $a$ .

(d) ⇒ (a). Pour $n \geqslant 1$ et $\rho$ assez petit, l'inégalité (i) du nœud Séries de Laurent, écrite pour l'indice $-n$ , donne $\begin{aligned} |c_{-n}| &\leqslant \rho^n M(\rho) \\ &= \rho^{n-1}\max_{|w - a| = \rho} |(w - a)f(w)|. \end{aligned}$ Pour $\rho \leqslant 1$ , le facteur $\rho^{n-1}$ est au plus $1$ , et le maximum tend vers $0$ avec $\rho$ par (d). Comme $c_{-n}$ ne dépend pas de $\rho$ , il est nul.

(a) ⇒ (b). Soit $r$ tel que $D(a, r) \subset U$ . Sur $D(a, r) \setminus \{a\}$ , $f(z) = \sum_{n \geqslant 0} c_n(z - a)^n$ (Séries de Laurent, (iii)), et le second membre est holomorphe sur tout $D(a, r)$ (même nœud, (ii)). On pose $f(a) = c_0$ : la fonction obtenue est holomorphe en chaque point de $U \setminus \{a\}$ , et en $a$ , puisqu'elle coïncide sur $D(a, r)$ avec la somme d'une série entière.

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Remarque

C'est un phénomène sans équivalent réel : la fonction $x \mapsto \sin\frac1x$ est bornée et indéfiniment dérivable sur $\mathbb R \setminus \{0\}$ , mais n'a même pas de prolongement continu en $0$ . Pour une fonction holomorphe, être bornée près d'un point suffit à la prolonger, et le prolongement est automatiquement holomorphe.

Remarque

L'hypothèse (c) porte sur un disque entier, et ne peut pas être affaiblie en une condition le long d'une direction. La fonction $\exp(-1/z^2)$ , holomorphe sur $\mathbb C \setminus \{0\}$ , tend vers $0$ le long de l'axe réel, mais vaut $\exp(1/y^2)$ au point $iy$ , qui tend vers l'infini : elle n'est pas bornée près de $0$ , et sa singularité est essentielle, son développement $\sum_n \frac{(-1)^n}{n!}z^{-2n}$ ayant une infinité de coefficients d'indice négatif non nuls.

Repose sur

Développement en série de Laurent sur une couronne

Sert à

Pôles et comportement près d'une singularité