Pôles et comportement près d'une singularité

(i) Supposons que $a$ est un pôle d'ordre $m$, et soit $r$ tel que $D(a, r) \subset U$. Sur $D(a, r) \setminus \{a\}$, $f(z) = \sum_{n \geqslant -m} c_n(z - a)^n$ (Séries de Laurent, (iii)).

La série entière $g(z) = \sum_{k \geqslant 0} c_{k-m}(z - a)^k$ a un rayon au moins $r$, puisque, pour $k \geqslant m$, $c_{k-m}\rho^k = \rho^m\,c_{k-m}\rho^{k-m}$ (même nœud, (ii)). Elle vérifie $g(z) = (z - a)^m f(z)$ pour $0 < |z - a| < r$, et $g(a) = c_{-m} \neq 0$.

Réciproquement, $g$ est sur $D(a, r)$ la somme d'une série $\sum_{k \geqslant 0} b_k(z - a)^k$, avec $b_0 = g(a) \neq 0$, par (i) du nœud Singularités isolées. Alors $f(z) = \sum_{k \geqslant 0} b_k(z - a)^{k-m}$ pour $0 < |z - a| < r$ : c'est une série de Laurent qui converge en tout point de la couronne $A(a; 0, r)$, puisque sa partie d'indices négatifs n'a qu'un nombre fini de termes. Par unicité (Séries de Laurent, (iv)), $c_{-m} = b_0 \neq 0$ et $c_{-n} = 0$ pour $n > m$.

(ii) Par (i) du nœud Singularités isolées, $h(z) = (z - a)^k u(z)$ avec $u$ holomorphe et sans zéro sur un disque $D(a, r')$. Sur ce disque privé de $a$, $h$ ne s'annule pas, et $$\frac{g(z)}{h(z)} = \frac{g(z)/u(z)}{(z - a)^k},$$ où $g/u$ est holomorphe sur $D(a, r')$ et non nulle en $a$ : on applique (i).

(iii) Si $a$ est un pôle d'ordre $m$, écrivons $f$ comme en (i). Par continuité, $|g(z)| \geqslant \frac12|g(a)|$ près de $a$, et $|f(z)| \geqslant \frac{|g(a)|}{2|z - a|^m}$ tend vers l'infini.

Réciproquement, supposons $|f(z)| \to +\infty$. Il existe $\rho > 0$ tel que $D(a, \rho) \subset U$ et $|f| \geqslant 1$ sur $D(a, \rho) \setminus \{a\}$. La fonction $\frac1f$ y est holomorphe et bornée par $1$ ; elle se prolonge en une fonction $\Phi$ holomorphe sur $D(a, \rho)$ (Singularités isolées, (ii)), avec $\Phi(a) = 0$, puisque $\frac1{f(z)} \to 0$.

Comme $\Phi$ ne s'annule pas hors de $a$, elle n'est pas identiquement nulle, et $a$ est un zéro d'ordre fini $k$ de $\Phi$. Par (ii), appliqué à $g = 1$ et $h = \Phi$, $f = 1/\Phi$ a un pôle d'ordre $k$ en $a$.

(iv) D'après le théorème de Riemann (Singularités isolées, (ii)), la singularité est fausse si et seulement si $f$ est bornée sur un disque épointé ; d'après (iii), c'est un pôle si et seulement si $|f| \to +\infty$. Elle est essentielle quand elle n'est ni l'une ni l'autre.