Théorème 4Théorème des résidus

Théorème de Casorati-Weierstrass

Énoncé

Soit $U$ un ouvert, $a \in U$ , et $f$ holomorphe sur $U \setminus \{a\}$ , avec une singularité essentielle en $a$ . Pour tout $\rho > 0$ tel que $D(a, \rho) \subset U$ , l'image $f\big(D(a, \rho) \setminus \{a\}\big)$ est dense dans ${\mathbb C}$ .

Démonstration

Supposons le contraire. Il existe un ouvert non vide de $\mathbb C$ qui ne rencontre pas l'image ; il contient un disque $D(w_0, \delta)$ (Topologie d'une distance, (i)), et $|f(z) - w_0| \geqslant \delta$ pour tout $z \in D(a, \rho) \setminus \{a\}$ .

La fonction $g = \frac{1}{f - w_0}$ est alors holomorphe sur ce disque épointé et bornée par $\frac1\delta$ . Par le théorème de Riemann (Singularités isolées, (ii)), appliqué sur l'ouvert $D(a, \rho)$ , elle se prolonge en une fonction $G$ holomorphe sur $D(a, \rho)$ , qui ne s'annule pas hors de $a$ .

Si $G(a) \neq 0$ , la fonction $\frac1G$ est continue en $a$ , donc bornée près de $a$ , et $f = w_0 + \frac1G$ l'est aussi : la singularité serait fausse (Singularités isolées, (ii)).

Les deux cas contredisent l'hypothèse : l'image est dense.

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Remarque

Pour $f(z) = \exp(1/z)$ , on voit davantage : toute valeur $w \neq 0$ est atteinte dans tout disque épointé centré en $0$ . Écrivons $w = \exp(\zeta)$ , ce qui est possible puisque $w = |w|\exp(i\theta)$ (Le nombre π, (iii)) et que $\exp$ prend sur $\mathbb R$ toutes les valeurs strictement positives. En effet, $\exp x \geqslant 1 + x$ pour $x \geqslant 0$ , d'après la série, et $\exp(-x) = 1/\exp x$ : la fonction continue $\exp$ prend sur $\mathbb R$ des valeurs arbitrairement grandes et arbitrairement proches de $0$ , et les valeurs intermédiaires concluent. Pour les $k \in \mathbb Z$ tels que $\zeta + 2ik\pi \neq 0$ , c'est-à-dire tous sauf au plus un, les points $z_k = \frac{1}{\zeta + 2ik\pi}$ vérifient $\exp(1/z_k) = w$ , et ils tendent vers $0$ quand $|k| \to +\infty$ .

Pour

w = 1 + i

, les points

z_k = \frac{1}{\zeta + 2ik\pi}

, où

\zeta = x_0 + \frac{i\pi}4

avec

\exp(x_0) = \sqrt 2

, sont ceux où

\exp(1/z)

vaut

w

. Ils sont sur un cercle passant par

0

, image de la droite verticale

\operatorname{Re} u = x_0

par

u \mapsto \frac1u

, et s'accumulent en

0

: le disque bleu de rayon

0{,}1

en contient une infinité, tous ceux pour lesquels

|k| \geqslant 2

Remarque

La valeur $0$ n'est jamais prise par $\exp(1/z)$ . Le grand théorème de Picard affirme qu'il en est toujours ainsi au plus pour une valeur : au voisinage d'une singularité essentielle, une fonction holomorphe prend toutes les valeurs complexes, sauf au plus une, une infinité de fois. Ce théorème, beaucoup plus profond, est admis ici : sa démonstration demande la fonction modulaire, ou les estimations de Schottky et de Bloch.

Repose sur

Pôles et comportement près d'une singularité

Sert à

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