Théorème 4Analyse complexe

Le nombre π et la périodicité de l'exponentielle

Le nombre \pi a été défini en analyse réelle, comme le double de la borne supérieure de l'arc tangente (Arc tangente, π). Ce nœud le relie à l'exponentielle complexe du nœud Exponentielle.

Énoncé

(i) Le plus petit zéro strictement positif de $\cos$ est $\frac\pi2$ , et $0 < \frac\pi2 < 2$ .

(ii) $\exp(i\pi/2) = i$ , $\exp(i\pi) = -1$ , $\exp(2i\pi) = 1$ , et $\exp(z) = 1$ si et seulement si $z \in 2i\pi{\mathbb Z}$ .

(iii) L'application $t \mapsto \exp(it)$ est surjective de ${\mathbb R}$ sur le cercle unité $\mathbb U = \{w : |w| = 1\}$ . Tout complexe non nul s'écrit donc $z = |z|\exp(i\theta)$ , avec $\theta$ unique modulo $2\pi$ .

Démonstration

(i) Par le nœud Paramétrage du cercle, (i), les zéros du cosinus sont les réels $\frac\pi2 + m\pi$ , $m \in \mathbb Z$ , et le plus petit d'entre eux qui soit strictement positif est $\frac\pi2$ . Par Arc tangente, π, (iii), $\pi > 0$ ; par le point (ii) du même nœud, toutes les valeurs de l'arc tangente sont majorées par $1 + \arctan 1$ , donc aussi leur borne supérieure $\frac\pi2$ , et $1 + \arctan 1 < 2$ .

(ii) Par Exponentielle, (iii), $\exp(i\pi/2) = \cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2 = i$ , puisque $\cos\frac\pi2 = 0$ et $\sin\frac\pi2 = 1$ (Cosinus et sinus sur ℝ, (i) et (ii)). En élevant au carré puis à la puissance quatrième (Exponentielle, (ii)), $\exp(i\pi) = i^2 = -1$ et $\exp(2i\pi) = 1$ . Pour tout entier $k$ , on en déduit $\exp(2ik\pi) = 1$ , par récurrence pour $k \geqslant 0$ et par $\exp(-z) = 1/\exp z$ pour $k < 0$ .

Réciproquement, soit $z = x + iy$ , avec $x$ et $y$ réels, tel que $\exp z = 1$ . Par Exponentielle, (ii) et (iii), $\exp z = \exp x\,\exp(iy)$ , de module $\exp x\,|\exp(iy)| = \exp x$ , puisque $\exp x$ est un réel strictement positif (Exponentielle, (iv)). Donc $\exp x = 1 = \exp 0$ , et $x = 0$ par stricte croissance. Il reste $\cos y + i\sin y = 1$ , d'où $\cos y = 1$ , et $y \in 2\pi\mathbb Z$ par Paramétrage du cercle, (ii).

(iii) Soit $w = a + ib \in \mathbb U$ , avec $a$ et $b$ réels. Alors $a^2 + b^2 = |w|^2 = 1$ (Conjugué, module), et le point $(a, b)$ est sur le cercle unité ${S^1}$ de $\mathbb R^2$ . Par Paramétrage du cercle, (iii), il existe $t \in [0, 2\pi[$ tel que $(\cos t, \sin t) = (a, b)$ , c'est-à-dire $\exp(it) = w$ , par Exponentielle, (iii).

Si $z \neq 0$ , le complexe $z/|z|$ est de module $1$ : il s'écrit $\exp(i\theta)$ , et $z = |z|\exp(i\theta)$ . Si de plus $z = |z|\exp(i\theta')$ , alors $\exp(i(\theta - \theta')) = 1$ , et $\theta - \theta' \in 2\pi\mathbb Z$ par (ii).

□

Remarque

La série permet aussi de localiser $\frac\pi2$ sans l'arc tangente. Pour $t$ réel, les termes d'indice pair de la série de $\exp(it)$ sont les réels $\frac{(it)^{2k}}{(2k)!} = (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!}$ , et ceux d'indice impair sont imaginaires purs ; en passant à la limite dans les parties réelles des sommes partielles, ce qui est permis puisque $|\operatorname{Re} w| \leqslant |w|$ , on obtient $\cos t = \sum_k (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!}.$ En $t = 2$ , les termes $\frac{4^k}{(2k)!}$ décroissent à partir de $k = 1$ , puisque leur rapport $\frac{4}{(2k+1)(2k+2)}$ est inférieur à $1$ ; en les groupant deux à deux à partir de $k = 3$ , on obtient une somme négative, et $\cos 2 \leqslant 1 - 2 + \frac23 = -\frac13 < 0$ . Le théorème des valeurs intermédiaires place donc un zéro du cosinus dans $]0, 2[$ , ce qui redonne $\pi < 4$ .

Le graphe de

\cos

, en rouge, part de

\cos 0 = 1

et passe sous l'axe avant

x = 2

: la somme des trois premiers termes,

1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}

, en bleu pointillé, vaut

-\frac13

2

, et le regroupement des termes suivants place

\cos 2

en dessous. Le premier point où la courbe rouge coupe l'axe est

\frac\pi2

C'est par ce calcul que les exposés qui construisent la trigonométrie par l'exponentielle complexe définissent $\pi$ , comme le double du plus petit zéro strictement positif du cosinus. Le point (i) montre que cette définition et celle de l'analyse réelle, par l'aire sous la courbe de $\frac{1}{1 + t^2}$ , donnent le même nombre.

Remarque

Numériquement, le plus petit zéro positif de $\cos$ vaut $1{,}5707963\ldots$ , d'où $\pi = 3{,}14159265\ldots$ On retrouve la constante d'Archimède, définie sans aucune géométrie ; le point (ii) en fait la demi-période de $t \mapsto \exp(it)$ .

Remarque

Le point (iii) identifie le cercle unité du plan à $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ , comme le faisait déjà, sans nombres complexes, le nœud Paramétrage du cercle, (iv) ; ce quotient est homéomorphe au cercle $\mathbb R/\mathbb Z$ de la topologie algébrique par $t \mapsto 2\pi t$ . La fonction « argument » $\theta$ existe localement, mais pas continûment sur tout le cercle (Conséquences).

Repose sur

La fonction exponentielle

Sert à

Intégrale le long d'un chemin