Proposition 4Analyse complexe

Intégrale le long d'un chemin

Un chemin de classe $C^1$ par morceaux est une application continue $\gamma : [a, b] \to {\mathbb C}$ dont la restriction à chaque segment $[t_{j-1}, t_j]$ d'une subdivision $a = t_0 < \cdots < t_m = b$ est dérivable, de dérivée continue, les dérivées aux extrémités étant prises à droite ou à gauche.

Pour $f$ continue sur l'image de $\gamma$ , l'intégrale curviligne est $\int_\gamma f = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt,$ somme des intégrales sur les morceaux ; la longueur de $\gamma$ est $L(\gamma) = \int_a^b |\gamma'|$ .

Énoncé

(ii) Si $F$ est holomorphe sur un ouvert contenant l'image de $\gamma$ , de dérivée $f = F'$ continue, alors $\int_\gamma f = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ ; en particulier, $\int_\gamma f = 0$ si $\gamma$ est fermé.

(iii) Pour le cercle $C(c, r) : t \mapsto c + r\exp(it)$ , $t \in [0, 2\pi]$ , on a $\int_{C(c,r)} \frac{dz}{z - c} = 2i\pi$ , et $\int_{C(c,r)} (z - c)^n\,dz = 0$ pour tout entier $n \neq -1$ .

Démonstration

(i) Écrivons $\int h = \rho\exp(i\theta)$ avec $\rho \geqslant 0$ (Le nombre π). Alors $\rho = \exp(-i\theta)\int h = \int \exp(-i\theta) h$ est réel, donc égal à sa partie réelle $\int \operatorname{Re}(\exp(-i\theta)h) \leqslant \int |h|$ . On applique ceci à $h = (f \circ \gamma)\gamma'$ .

(ii) Sur chaque morceau, $(F \circ \gamma)' = (f \circ \gamma)\gamma'$ (Fonctions holomorphes), et l'on applique (iv) du nœud Convergence uniforme ; les termes intermédiaires se télescopent.

(iii) $\gamma'(t) = ir\exp(it)$ , donc $\int \frac{dz}{z - c} = \int_0^{2\pi} \frac{ir\exp(it)}{r\exp(it)}\,dt = 2i\pi.$ Pour $n \neq -1$ , $(z - c)^n$ a pour primitive $(z - c)^{n+1}/(n + 1)$ , holomorphe hors de $c$ , et le chemin est fermé.

En chaque point

\gamma(t)

du cercle, la vitesse

\gamma'(t) = ir\exp(it)

, en rouge, est le rayon

\gamma(t) - c

, en bleu, multiplié par

i

: même longueur

r

, tournée d'un quart de tour dans le sens direct. Le quotient

\gamma'(t)/(\gamma(t) - c)

vaut donc

i

en tout point, et l'intégrale est

i

fois la longueur

2\pi

de l'intervalle des paramètres.

□

Remarque

Le point (iii) montre que $1/z$ n'a pas de primitive holomorphe sur $\mathbb C \setminus \{0\}$ : sinon son intégrale sur le cercle serait nulle. C'est la version analytique de l'absence d'« angle continu » de la topologie algébrique : une primitive de $1/z$ serait un logarithme, dont la partie imaginaire serait un argument continu.

Remarque

Le nombre $\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{dz}{z - c}$ a un sens pour tout chemin fermé qui évite $c$ : c'est l'indice du chemin, entier qui compte ses tours autour de $c$ , et (iii) dit qu'il vaut $1$ pour le cercle (Indice d'un lacet).

Repose sur

Le nombre π et la périodicité de l'exponentielle

Sert à

Lemme de Goursat