Indice d'un lacet par rapport à un point

(i) Le segment $[a, b]$ est compact (Borel-Lebesgue), donc son image par l'application continue $\gamma$ l'est aussi (Parties compactes, (iii)). Elle est fermée dans l'espace séparé $\mathbb C$ (même nœud, (ii)), et son complémentaire est ouvert.

Pour $w \notin \gamma^*$, la fonction continue $t \mapsto |\gamma(t) - w|$ atteint son minimum sur le compact $[a, b]$ (Compacts de ℝ, (iii)). Ce minimum est l'une de ses valeurs, et aucune n'est nulle.

(ii) Sur chaque segment $[t_{j-1}, t_j]$, la fonction $q(t) = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - w}$ est continue. On définit $H$ de proche en proche par $H(a) = 0$ et, pour $t \in [t_{j-1}, t_j]$, $$H(t) = H(t_{j-1}) + \int_{t_{j-1}}^t q(u)\,du,$$ de sorte que $H(b) = \int_\gamma \frac{dz}{z - w}$. Sur chaque segment, $H$ est dérivable de dérivée $q$, par le théorème fondamental appliqué aux parties réelle et imaginaire (Théorème fondamental de l'analyse).

La fonction $\varphi(t) = \exp(-H(t))\,(\gamma(t) - w)$ est alors dérivable sur chaque segment. La dérivée d'une composée (Fonctions holomorphes, (iii)), avec $\exp' = \exp$, et celle d'un produit, qui se calcule comme au point (ii) du même nœud, donnent $$\varphi' = \exp(-H)\big(\gamma' - q\,(\gamma - w)\big) = 0.$$

La fonction $\varphi$ prend donc la même valeur aux deux extrémités de chaque segment (Convergence uniforme, (iv)), et $\varphi(b) = \varphi(a) = \gamma(a) - w$. Comme $\gamma(b) = \gamma(a) \neq w$, il vient $\exp(-H(b)) = 1$, donc $H(b) \in 2i\pi{\mathbb Z}$ (Le nombre π, (ii)) : l'indice est entier.

(iii) Soit $w \notin \gamma^*$, $\delta = \delta(w)$, et $w'$ tel que $|w' - w| < \delta/2$. Pour $z \in \gamma^*$, on a $|z - w'| \geqslant \delta/2$, et $$\begin{aligned} \Big|\frac{1}{z - w'} - \frac{1}{z - w}\Big| &= \frac{|w' - w|}{|z - w'|\,|z - w|} \\ &\leqslant \frac{2|w' - w|}{\delta^2}. \end{aligned}$$

La majoration par la longueur (Intégrale curviligne, (i)) donne alors $$|\operatorname{Ind}_\gamma(w') - \operatorname{Ind}_\gamma(w)| \leqslant \frac{L(\gamma)\,|w' - w|}{\pi\delta^2},$$ d'où la continuité.

Ce majorant est inférieur à $1$ dès que $|w' - w|$ est assez petit, et deux entiers distants de moins de $1$ sont égaux : l'indice est constant au voisinage de chaque point de $\mathbb C \setminus \gamma^*$.

Soit $E$ une partie connexe de $\mathbb C \setminus \gamma^*$ et $w_0 \in E$. L'ensemble des $w \in E$ tels que $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = \operatorname{Ind}_\gamma(w_0)$ et son complémentaire dans $E$ sont ouverts dans $E$, de sorte que l'indicatrice du premier est continue de $E$ dans $\{0, 1\}$. Elle est constante (Connexité, (c)), et vaut $1$ en $w_0$.

(iv) La fonction $z \mapsto \frac{1}{z - w}$ est holomorphe sur l'ouvert convexe $V$, qui ne contient pas $w$ ; son intégrale sur le lacet $\gamma$ de $V$ est nulle (Cauchy, ouverts convexes, avec pour $p$ un point quelconque de $V$).

Pour le cas particulier, soit $R = \max_t |\gamma(t)|$, qui existe comme en (i), et $|w| > R$. Le demi-plan $$V = \{z : \operatorname{Re}(z\bar w) < |w|^2\}$$ est ouvert, puisque $z \mapsto \operatorname{Re}(z\bar w)$ est continue, et convexe, puisque cette fonction est \mathbb R-linéaire. Il contient $\gamma^*$, car $\operatorname{Re}(z\bar w) \leqslant |z|\,|w| \leqslant R|w| < |w|^2$ pour $z \in \gamma^*$, et il ne contient pas $w$.

(v) Si $|w - c| < r$, la formule de Cauchy (Formule de Cauchy, (ii)), appliquée à la fonction constante égale à $1$, holomorphe sur $\mathbb C$, donne $$1 = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{dz}{z - w}.$$

Si $|w - c| > r$, le disque ouvert $D(c, |w - c|)$ est convexe, par l'inégalité triangulaire ; il contient le cercle et ne contient pas $w$, et l'on applique (iv).