Théorème 5Théorème de Jordan-Brouwer

Théorème de Jordan pour les courbes du plan

Un lacet simple du plan est un lacet $\gamma : I \to {\mathbb R^2}$ (Chemins) tel que, pour $s < t$ , l'égalité $\gamma(s) = \gamma(t)$ n'ait lieu que pour $s = 0$ et $t = 1$ . Son image est une courbe de Jordan.

Énoncé

(i) Une courbe de Jordan est une sphère topologique de dimension $1$ , c'est-à-dire une partie de $\mathbb R^2$ homéomorphe au cercle ${S^1}$ .

(ii) Théorème de Jordan. Si $\Gamma$ est une courbe de Jordan, $\mathbb R^2 \setminus \Gamma$ a exactement deux composantes connexes par arcs, ouvertes, l'une bornée et l'autre non. La courbe $\Gamma$ est la frontière de chacune.

Démonstration

(i) Un paramétrage du cercle. Soit $c : I \to \mathbb R^2$ l'application affine sur chacun des segments $[0, \frac18]$ , $[\frac18, \frac38]$ , $[\frac38, \frac58]$ , $[\frac58, \frac78]$ , $[\frac78, 1]$ , qui passe aux instants $0, \frac18, \frac38, \frac58, \frac78, 1$ par les points $(1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(-1, 1)$ , $(-1, -1)$ , $(1, -1)$ , $(1, 0)$ . Elle est continue par recollement (Chemins, (i)), et son image est le bord $\{\|x\|_\infty = 1\}$ du carré. Elle est injective sur chacun des cinq segments de temps, où elle est affine et non constante. Les quatre côtés privés de leurs extrémités sont disjoints, et les coins ne sont atteints qu'aux instants $\frac18, \frac38, \frac58, \frac78$ . Restent le premier et le dernier segment, tous deux sur la droite $x_1 = 1$ , l'un dans $\{x_2 \geqslant 0\}$ , l'autre dans $\{x_2 \leqslant 0\}$ : ils ne se rencontrent qu'en $(1, 0)$ , atteint aux instants $0$ et $1$ . Ainsi $c(s) = c(t)$ avec $s < t$ n'a lieu que pour $s = 0$ , $t = 1$ .

Sur ce bord, $x \mapsto x/\|x\|_2$ est une bijection sur $S^1$ , de réciproque $u \mapsto u/\|u\|_\infty$ . L'application $q = c/\|c\|_2 : I \to S^1$ est donc continue, surjective, et $q(s) = q(t)$ avec $s < t$ n'a lieu que pour $s = 0$ , $t = 1$ .

L'homéomorphisme. Soit $\gamma$ un lacet simple d'image $\Gamma$ . Les mêmes instants étant identifiés par $q$ et par $\gamma$ , la formule $h(q(t)) = \gamma(t)$ définit une bijection $h : S^1 \to \Gamma$ .

Elle est continue : pour un fermé $F$ de $\mathbb R^2$ , $\gamma^{-1}(F)$ est fermé dans le compact $I$ , donc compact, et $h^{-1}(F) = q(\gamma^{-1}(F))$ est compact, donc fermé dans $S^1$ (Parties compactes). Une bijection continue du compact $S^1$ sur le séparé $\Gamma$ est un homéomorphisme (Bijection d'un compact).

(ii) C'est le théorème Jordan-Brouwer dans ℝⁿ pour $n = 2$ , appliqué à $\Gamma$ grâce à (i).

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Remarque

Pour une ligne polygonale fermée sans point double, on sait dire de quel côté se trouve un point : on compte les points où une demi-droite issue de ce point, qui ne passe par aucun sommet, coupe la ligne. Un nombre impair désigne la composante bornée, un nombre pair l'autre. Ce critère est admis ici ; il repose sur trois faits : la parité ne change pas quand on déplace le point sans traverser la ligne, elle change quand on traverse une arête une fois, et le nombre est nul loin de la ligne. Les deux premiers donnent deux régions de parités différentes, le troisième place la parité paire sur la composante non bornée ; la seule difficulté est de traiter les demi-droites qui passent par un sommet.

Une ligne polygonale fermée en spirale. La composante bornée, en bleu, est un couloir qui s'enroule ; la composante non bornée, blanche, s'enroule entre ses spires. La demi-droite issue du point

x

coupe la ligne en

5

points, nombre impair :

x

est dans la composante bornée. Celle qui est issue de

y

la coupe en

6

points :

y

est dans la composante non bornée, bien qu'il soit au cœur de la figure (critère de parité de la remarque).

Remarque

L'énoncé paraît évident, et c'est la figure ci-dessus qui en montre la difficulté : rien ne dit à l'œil, au cœur d'une spirale, de quel côté l'on se trouve. Pour un lacet seulement continu, la courbe peut même avoir une aire strictement positive, au sens de la mesure de Lebesgue, que construit la théorie de la mesure (W. F. Osgood, « A Jordan curve of positive area », Trans. Amer. Math. Soc. 4, 1903, p. 107-112 ; admis ici). Aucune hypothèse de régularité n'est faite dans le théorème, et la démonstration homologique n'en a pas besoin.

Remarque

Camille Jordan a énoncé et démontré le théorème dans son Cours d'analyse de l'École polytechnique, tome III, 1887, p. 587-594. Sa preuve a longtemps été jugée incomplète, et l'on a souvent attribué la première preuve rigoureuse à O. Veblen (« Theory on plane curves in non-metrical analysis situs », Trans. Amer. Math. Soc. 6, 1905, p. 83-98) ; T. C. Hales l'a relue et la juge pour l'essentiel correcte (« Jordan's proof of the Jordan curve theorem », Studies in Logic, Grammar and Rhetoric 10 (23), 2007, p. 45-60). Le même auteur en a fait vérifier une démonstration complète par l'ordinateur, dans le système HOL Light (« The Jordan curve theorem, formally and informally », Amer. Math. Monthly 114, 2007, p. 882-894).

Remarque

Dans le plan, on sait davantage : il existe un homéomorphisme de $\mathbb R^2$ sur lui-même qui envoie $\Gamma$ sur le cercle unité, de sorte que la composante bornée est homéomorphe à un disque ouvert (théorème de Schoenflies : A. Schoenflies, « Beiträge zur Theorie der Punktmengen III », Math. Ann. 62, 1906, p. 286-328 ; admis ici). La difficulté contournée est la construction de l'homéomorphisme, qui ne se lit pas sur l'homologie ; l'énoncé analogue est faux en dimension $3$ (Jordan-Brouwer dans ℝⁿ).

Remarque

Pour un lacet simple de classe $C^1$ par morceaux, l'indice du chapitre Théorème des résidus est constant sur chacune des deux composantes, et nul sur la composante non bornée (Indice d'un lacet, (iii) et (iv)). Qu'il vaille $\pm 1$ sur la composante bornée est une information de plus, que le théorème de Jordan seul ne donne pas, et qui reste admise ici.

Repose sur

Théorème de séparation de Jordan-Brouwer

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