Théorème de séparation de Jordan-Brouwer

Passage à la sphère. Soit $\psi = \varphi_S^{-1}$, l'inverse de la projection stéréographique (Calottes, (i)) : c'est un homéomorphisme de $\mathbb R^n$ sur l'ouvert $S^n \setminus \{N\}$. Alors $\Sigma' = \psi(\Sigma)$ est une sphère topologique de dimension $n - 1$ dans $S^n$, qui ne contient pas $N$.

Par Jordan-Brouwer dans Sⁿ, $S^n \setminus \Sigma'$ a deux composantes ouvertes $U'$ et $V'$, de frontière $\Sigma'$ ; notons $V'$ celle qui contient $N$.

Retrait du point $N$. Montrons que $V' \setminus \{N\}$ est connexe par arcs ; c'est ici que sert l'hypothèse $n \geqslant 2$. L'ouvert $V'$ de $S^n$ contient une calotte $C = C(N, \varepsilon)$, avec $0 < \varepsilon < 2$ (Topologie d'une distance, (iii)). Les parties $V' \setminus \{N\}$ et $C$ sont ouvertes, puisque les points sont fermés dans l'espace séparé $S^n$, et leur réunion est $V'$.

Leur intersection $C \setminus \{N\}$ est non vide et connexe par arcs (Calottes, (iii)) : son homologie réduite est nulle en degrés $-1$ et $0$ (Homologie réduite). La suite de Mayer-Vietoris réduite (Mayer-Vietoris réduite) contient $$\begin{aligned} {\tilde H_0}(C \setminus \{N\}) &\to \tilde H_0(V' \setminus \{N\}) \oplus \tilde H_0(C) \\ &\to \tilde H_0(V'). \end{aligned}$$

Le groupe de droite est nul, puisque $V'$ est connexe par arcs ; le groupe du milieu est donc l'image de celui de gauche, qui est nul. Ainsi $\tilde H_0(V' \setminus \{N\}) = 0$, et $V' \setminus \{N\}$, qui contient $C \setminus \{N\}$, est non vide et connexe par arcs.

Les composantes. L'application $\psi$ est un homéomorphisme de $\mathbb R^n \setminus \Sigma$ sur $(S^n \setminus \Sigma') \setminus \{N\} = U' \cup (V' \setminus \{N\})$. Ces deux parties sont connexes par arcs et disjointes, et un chemin de $(S^n \setminus \Sigma') \setminus \{N\}$ reste dans l'une des composantes $U'$, $V'$ de $S^n \setminus \Sigma'$ : ce sont ses deux composantes. Celles de $\mathbb R^n \setminus \Sigma$ sont donc $U = \psi^{-1}(U')$ et $V = \psi^{-1}(V' \setminus \{N\})$, ouvertes puisque $\psi$ est continue.

Les frontières. Les voisinages de $x$ dans $\mathbb R^n$ sont les images réciproques par $\psi$ des voisinages de $\psi(x)$ dans $S^n$ : un voisinage de $\psi(x)$ dans l'ouvert $S^n \setminus \{N\}$ en est un dans $S^n$, et un voisinage dans $S^n$ le reste quand on lui retire $N \neq \psi(x)$. Ainsi $x$ est adhérent à $U$ si et seulement si $\psi(x)$ est adhérent à $U'$, et à $V$ si et seulement si $\psi(x)$ est adhérent à $V' \setminus \{N\}$. Être adhérent à $V' \setminus \{N\}$ revient à être adhérent à $V'$, puisque tout voisinage $W$ de $\psi(x) \neq N$ contient le voisinage $W \setminus \{N\}$, le point $N$ étant fermé.

Comme $U$ et $V$ sont ouverts, $\operatorname{Fr} U = \overline U \setminus U = \psi^{-1}(\overline{U'} \setminus U') = \psi^{-1}(\Sigma') = \Sigma$, et de même $\operatorname{Fr} V = \psi^{-1}(\overline{V'} \setminus V') = \Sigma$, en utilisant $\psi(x) \neq N$.

Bornée et non bornée. La partie $\Sigma$ est compacte, donc bornée (L'espace ℝⁿ, (iii)) : $\Sigma \subset \bar B(0, \rho)$ pour un $\rho > 0$. L'ensemble $G = \{x : \|x\| > \rho\}$ est l'image de $S^{n-1} \times \left]\rho, +\infty\right[$ par $(u, t) \mapsto tu$, et ce produit est connexe par arcs, puisque $S^{n-1}$ l'est pour $n \geqslant 2$ : il suffit de prendre un chemin dans chaque facteur.

Ainsi $G$ est connexe par arcs, disjoint de $\Sigma$, et contenu dans l'une des composantes, qui n'est pas bornée. L'autre composante, disjointe de $G$, est contenue dans $\bar B(0, \rho)$ : elle est bornée.