Petites chaînes et Mayer-Vietoris en homologie réduite

(i) Soient $\rho : C(X) \to C^{U,V}(X)$ et $D : C_n(X) \to C_{n+1}(X)$ les morphismes construits au nœud Petites chaînes pour $\mathcal U = \{U, V\}$ : $\rho \circ \jmath = \mathrm{id}$ et $\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$. On les prolonge en degré $-1$ par $\rho = \mathrm{id}_{\mathbb Z}$ et $D = 0$, et l'on note $\tilde\partial$ le bord augmenté.

En degré $0$, le bord non augmenté de $C_0(X)$ est nul, donc $\rho = \mathrm{id} - \partial D$ sur $C_0(X)$ ; comme $\varepsilon \circ \partial = 0$ sur $C_1(X)$, il vient $\varepsilon \circ \rho = \varepsilon$. Ainsi $\rho$ est un morphisme de complexes augmentés.

Vérifions que $\mathrm{id} - \jmath \circ \rho = \tilde\partial D + D\tilde\partial$. En degré $n \geqslant 1$, c'est l'identité de Petites chaînes. En degré $0$, $D\tilde\partial = D \circ \varepsilon = 0$, puisque $D$ est nul en degré $-1$, et il reste $\partial D = \mathrm{id} - \rho$. En degré $-1$, les deux membres sont nuls.

Par Complexes de chaînes, (ii) et (iii), $\rho_* \circ \jmath_* = \mathrm{id}$ et $\jmath_* \circ \rho_* = \mathrm{id}$.

(ii) La suite $$\begin{aligned} 0 \to {}&\tilde C(U \cap V) \to \tilde C(U) \oplus \tilde C(V) \\ &\to \tilde C^{U,V}(X) \to 0 \end{aligned}$$ est exacte en degré $n \geqslant 0$ (Mayer-Vietoris, (ii)). En degré $-1$, elle s'écrit $\mathbb Z \to \mathbb Z \oplus \mathbb Z \to \mathbb Z$, avec $a \mapsto (a, a)$ et $(a, b) \mapsto a - b$ : la première flèche est injective, la seconde surjective, et le noyau de la seconde est la diagonale, image de la première.

Ces flèches commutent aux augmentations, puisque chaque point compte pour $1$ dans tous les espaces. On applique la suite exacte longue (Suite exacte longue), puis (i) pour remplacer l'homologie de $\tilde C^{U,V}(X)$ par celle de $X$ ; la suite s'arrête à $\tilde H_{-1}(X) \to 0$, puisque $\tilde H_{-2}(U \cap V) = 0$.

(iii) Dans la suite exacte, le noyau de $\tilde H_n(U \cap V) \to \tilde H_n(U) \oplus \tilde H_n(V)$ est l'image de $\delta$, qui part de $\tilde H_{n+1}(X)$. Si les groupes de $U$ et de $V$ sont nuls, $\delta$ est entouré de deux groupes nuls, donc injectif et surjectif.