Théorie

Homologie

Elle associe à tout espace topologique des groupes abéliens ${H_n}(X)$, construits à partir des simplexes singuliers $\Delta_n \to X$ : les cycles modulo les bords. Ces groupes sont invariants par homotopie et se calculent par des suites exactes, comme celle de Mayer-Vietoris.

Le calcul $H_n({S^n}) \cong {\mathbb Z}$ donne le théorème du point fixe de Brouwer et l'invariance de la dimension.

Un chapitre démontre le théorème de Hurewicz en degré $1$ : pour un espace connexe par arcs, $H_1(X)$ est le groupe fondamental rendu commutatif, c'est-à-dire son quotient par le sous-groupe engendré par les commutateurs.

Un chapitre démontre le théorème de Jordan : une courbe fermée du plan sans point double sépare le plan en deux régions, l'une bornée, l'autre non, dont elle est la frontière commune. Il le fait en toute dimension, sous la forme de Jordan-Brouwer, en calculant l'homologie du complémentaire d'une sphère topologique de $S^n$, et en déduit l'invariance du domaine.

Deux autres chapitres construisent la cohomologie singulière, la comparent à l'homologie par le théorème des coefficients universels, puis en font un anneau par le produit cup ; l'anneau de $\mathbb RP^n$ modulo $2$ y donne le théorème de Borsuk-Ulam.

Un chapitre d'homologie cellulaire établit l'homologie relative, l'excision et le degré, puis calcule l'homologie d'un complexe cellulaire fini par un complexe libre sur ses cellules : celle du tore, des surfaces de genre $g$ et de $\mathbb RP^n$, ainsi que la caractéristique d'Euler-Poincaré, indépendante de la décomposition.

Un dernier chapitre établit la formule de Künneth pour l'homologie d'un produit, par le théorème d'Eilenberg-Zilber, démontre la commutativité graduée du produit cup, et calcule l'anneau de cohomologie du tore $T^n$, algèbre extérieure sur $n$ générateurs de degré $1$.