Théorème 5Homologie

La suite exacte de Mayer-Vietoris

Soit $X = U \cup V$ , avec $U$ et $V$ ouverts. Notons $C_n^{U,V}(X)$ le sous-groupe de $C_n(X)$ engendré par les simplexes à valeurs dans $U$ ou dans $V$ ; c'est un sous-complexe, puisque les faces d'un tel simplexe le sont aussi.

Énoncé

(i) Petites chaînes. L'inclusion $C^{U,V}(X) \to C(X)$ induit des isomorphismes en homologie.

(ii) Mayer-Vietoris. Il existe une suite exacte longue $\begin{aligned} \cdots \to {}&{H_n}(U \cap V) \\ &\xrightarrow{(i_*, j_*)} H_n(U) \oplus H_n(V) \\ &\xrightarrow{k_* - l_*} H_n(X) \\ &\xrightarrow{\delta} H_{n-1}(U \cap V) \to \cdots \end{aligned}$ où $i, j, k, l$ sont les inclusions de $U \cap V$ dans $U$ et $V$ , et de $U$ et $V$ dans $X$ .

Démonstration

(i) C'est le théorème du nœud Petites chaînes, appliqué à $\mathcal U = \{U, V\}$ , pour lequel $C^{\mathcal U}(X) = C^{U,V}(X)$ .

(ii) La suite $\begin{aligned} 0 \to {}&C(U \cap V) \\ &\xrightarrow{(i_\#, j_\#)} C(U) \oplus C(V) \\ &\xrightarrow{k_\# - l_\#} C^{U,V}(X) \to 0 \end{aligned}$ est exacte. Pour une partie $A$ de $X$ , une application $\Delta_n \to A$ est continue si et seulement si elle l'est vers $X$ (Topologie induite) : le complexe $C(A)$ s'identifie, par l'inclusion, au sous-complexe de $C(X)$ engendré par les simplexes à valeurs dans $A$ . Avec cette identification, l'application de gauche est $a \mapsto (a, a)$ , donc injective ; celle de droite est $(a, b) \mapsto a - b$ , surjective par définition de $C^{U,V}$ ; leur composée est nulle ; et $a - b = 0$ signifie que $a$ et $b$ sont la même chaîne, formée de simplexes à valeurs dans $U$ et dans $V$ , donc dans $U \cap V$ : c'est l'image de l'application de gauche.

Enfin, le bord de $C(U) \oplus C(V)$ agit composante par composante, de sorte que cycles et bords se calculent séparément, et que l'homologie de ce complexe est $H_n(U) \oplus H_n(V)$ .

On applique la suite exacte longue (Suite exacte longue), puis (i) pour remplacer l'homologie de $C^{U,V}(X)$ par celle de $X$ .

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Remarque

Mayer-Vietoris est l'analogue homologique du théorème de Seifert-van Kampen pour le groupe fondamental (Seifert-van Kampen) : on calcule l'invariant d'une réunion à partir de ceux des morceaux et de leur intersection. La différence essentielle est que l'homologie s'assemble par des suites exactes de groupes abéliens, beaucoup plus maniables que les produits amalgamés de groupes.

Repose sur

Lemme du serpent et suite exacte longue Le théorème des petites chaînes

Sert à

Homologie des sphères