Définition 2Homologie

Simplexes singuliers et homologie singulière

Le simplexe standard $\Delta_n$ est l'ensemble des $t \in {\mathbb R^{n+1}}$ tels que $t_i \geqslant 0$ et $\sum t_i = 1$ , muni de la topologie induite par la topologie produit ; ses sommets sont les vecteurs de base $e_0, \dots, e_n$ . Pour $0 \leqslant i \leqslant n$ , la face $\delta_i : \Delta_{n-1} \to \Delta_n$ insère un $0$ en position $i$ .

Un simplexe singulier de dimension $n$ d'un espace topologique $X$ est une application continue $\sigma : \Delta_n \to X$ . Le groupe des chaînes $C_n(X)$ est le groupe abélien libre sur l'ensemble de ces simplexes, et le bord est le morphisme défini par $\partial \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i\, \sigma \circ \delta_i.$

Pour

n = 2

, la face

\delta_0

a pour image l'arête de

e_1

e_2

\delta_1

celle de

e_0

e_2

, et

\delta_2

celle de

e_0

e_1

, orientées comme l'image des sommets de

\Delta_1

. Avec les signes du bord,

\partial\sigma

parcourt le contour de

\Delta_2

: de

e_0

e_1

, de

e_1

e_2

, puis de

e_2

e_0

grâce au signe

-

Énoncé

(i) $\partial \circ \partial = 0$ : les $C_n(X)$ , nuls pour $n < 0$ , forment un complexe, dont l'homologie ${H_n}(X)$ est l'homologie singulière de $X$ .

(ii) Toute application continue $f : X \to Y$ induit un morphisme de complexes $f_\#(\sigma) = f \circ \sigma$ , donc des morphismes $f_* : H_n(X) \to H_n(Y)$ , avec $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ . Deux espaces homéomorphes ont des homologies isomorphes.

Démonstration

(i) Les faces sont des restrictions d'applications affines, donc continues (Chemins, (ii)), et vérifient $\delta_j \circ \delta_i = \delta_i \circ \delta_{j-1}$ pour $i < j$ : pour $t \in \Delta_{n-2}$ , les deux membres insèrent des zéros en positions $i$ et $j$ et recopient les coordonnées de $t$ ailleurs, dans l'ordre.

Dans $\partial\partial\sigma = \sum_{j}\sum_{i} (-1)^{i+j}\sigma \circ \delta_j \circ \delta_i,$ le terme d'indices $(j, i)$ avec $i < j$ s'écrit $(-1)^{i+j}\sigma \circ \delta_i \circ \delta_{j-1}$ et annule le terme d'indices $(i, j - 1)$ , de signe $(-1)^{i+j-1}$ ; les termes se compensent deux à deux.

(ii) $f \circ \sigma$ est continue, et $\begin{aligned} f_\#(\partial\sigma) &= \sum (-1)^i f \circ \sigma \circ \delta_i \\ &= \partial f_\#(\sigma). \end{aligned}$ On applique Complexes de chaînes, (ii).

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que $C_n(X)$ est un objet raisonnable : c'est un groupe libre sur un ensemble gigantesque, celui de toutes les applications continues $\Delta_n \to X$ . Toute la théorie consiste à montrer que son homologie, elle, est petite et calculable.

Repose sur

Complexes de chaînes et homologie Topologie algébrique

Sert à

Homologie d'un point et homologie de degré 0 Invariance de l'homologie par homotopie Subdivision barycentrique