Subdivision barycentrique

(i) Pour $\alpha = [w_0, \dots, w_n]$ avec $n \geqslant 1$, le bord de $[b, w_0, \dots, w_n]$ comporte le terme $[w_0, \dots, w_n]$, où l'on omet $b$, et les termes $(-1)^{i+1}[b, w_0, \dots, \widehat{w_i}, \dots, w_n]$, dont la somme est $-b \cdot \partial\alpha$.

Pour $n = 0$, $\partial[b, w_0] = [w_0] - [b] = \alpha - b \cdot [\varnothing]$ ; pour $n = -1$, $\partial[b] = [\varnothing]$. On conclut par linéarité.

(ii) Montrons que $\partial S = S\partial$ par récurrence sur $n$ ; le cas $n = -1$ est clair. Pour un simplexe affine $\lambda$ de dimension $n \geqslant 0$, (i) et l'hypothèse de récurrence donnent $$\begin{aligned} \partial S\lambda &= S\partial\lambda - b_\lambda \cdot \partial S\partial\lambda \\ &= S\partial\lambda - b_\lambda \cdot S\partial\partial\lambda \\ &= S\partial\lambda. \end{aligned}$$

Montrons de même que $\partial T + T\partial = \mathrm{id} - S$. En degré $-1$, les deux membres sont nuls, puisque $S[\varnothing] = [\varnothing]$. Pour $\lambda$ de dimension $n \geqslant 0$, l'hypothèse de récurrence en degré $n - 1$ s'écrit $$\begin{aligned} \partial T\partial\lambda &= \partial\lambda - S\partial\lambda - T\partial\partial\lambda \\ &= \partial\lambda - S\partial\lambda. \end{aligned}$$ Par (i), $$\begin{aligned} \partial T\lambda &= \lambda - T\partial\lambda - b_\lambda \cdot (\partial\lambda - \partial T\partial\lambda) \\ &= \lambda - T\partial\lambda - b_\lambda \cdot S\partial\lambda \\ &= \lambda - T\partial\lambda - S\lambda. \end{aligned}$$

Naturalité. Une application affine envoie barycentre sur barycentre et vérifie $f_\#[w_0, \dots, w_n] = [f(w_0), \dots, f(w_n)]$, donc $f_\#(b \cdot \alpha) = f(b) \cdot f_\#\alpha$ ; on prolonge $f_\#$ par $f_\#[\varnothing] = [\varnothing]$. Une récurrence sur $n$, appliquée aux deux formules de définition, donne $$\begin{aligned} f_\#S\lambda &= f(b_\lambda) \cdot f_\#S\partial\lambda \\ &= b_{f_\#\lambda} \cdot S\partial f_\#\lambda = Sf_\#\lambda, \end{aligned}$$ et de même pour $T$.

(iii) Un simplexe affine $\lambda : \Delta_n \to Y$ est l'image de $\iota_n$ par lui-même, $\lambda = \lambda_\#\iota_n$, et la naturalité donne $\lambda_\#(S\iota_n) = S\lambda$ : les deux définitions de $S$ coïncident sur les simplexes affines, et de même pour $T$.

Les faces $\delta_i : \Delta_{n-1} \to \Delta_n$ sont affines, et $\iota_n \circ \delta_i = \delta_{i\#}\iota_{n-1}$. Pour $n \geqslant 1$, $$\begin{aligned} \partial S\sigma &= \sigma_\#\partial S\iota_n = \sigma_\#S\partial\iota_n \\ &= \sum_i (-1)^i\sigma_\#\delta_{i\#}S\iota_{n-1} \\ &= \sum_i (-1)^i S(\sigma \circ \delta_i) = S\partial\sigma, \end{aligned}$$ et, de la même façon, $$\begin{aligned} \partial T\sigma &= \sigma_\#(\iota_n - S\iota_n - T\partial\iota_n) \\ &= \sigma - S\sigma - T\partial\sigma. \end{aligned}$$

Pour $n = 0$, $S\iota_0 = [e_0]$ et $T\iota_0 = [e_0, e_0]$, donc $S\sigma = \sigma$ et $\partial T\sigma = \sigma - \sigma = 0$, ce qui est l'identité attendue, puisque le bord d'un $0$-simplexe singulier est nul.

La naturalité vient de $g_\#\sigma_\# = (g \circ \sigma)_\#$. Enfin $S\iota_n$ et $T\iota_n$ sont des combinaisons de simplexes affines $\mu$ de $\Delta_n$, et les simplexes de $S\sigma$ et $T\sigma$ sont les $\sigma \circ \mu$.

(iv) Diamètre d'un simplexe affine. Si $x = \sum_i t_iw_i$ et $y = \sum_j s_jw_j$, alors, puisque $\sum_{i,j} t_is_j = 1$, $$x - y = \sum_{i,j} t_is_j(w_i - w_j),$$ et, en majorant coordonnée par coordonnée la valeur absolue de cette combinaison à coefficients positifs, $$d_\infty(x, y) \leqslant \max_{i,j} d_\infty(w_i, w_j) = \delta ;$$ ce maximum est atteint en des sommets.

De même, pour le barycentre $b$, $$b - x = \frac1{n+1}\sum_j t_j \sum_{i \neq j} (w_i - w_j),$$ d'où $d_\infty(b, x) \leqslant \frac n{n+1}\,\delta$ pour tout point $x$ de l'image.

Une subdivision. Montrons, par récurrence sur $n$, que $S\lambda$ est une combinaison de simplexes affines à sommets dans l'image de $\lambda$ et de diamètre au plus $\frac n{n+1}\delta$. Pour $n = 0$, $S\lambda = \lambda$, de diamètre $0$.

Pour $n \geqslant 1$, $S\lambda = b_\lambda \cdot S(\partial\lambda)$ est une combinaison de simplexes $[b_\lambda, u_0, \dots, u_{n-1}]$, où $[u_0, \dots, u_{n-1}]$ figure dans $S$ d'une face de $\lambda$ ; par hypothèse de récurrence, les $u_j$ sont dans l'image de la face, donc de $\lambda$, et $$d_\infty(u_j, u_l) \leqslant \frac{n-1}{n}\delta \leqslant \frac n{n+1}\delta,$$ la face ayant un diamètre au plus $\delta$. Enfin $d_\infty(b_\lambda, u_j) \leqslant \frac n{n+1}\delta$ par ce qui précède.

Itération. $S$ étant linéaire, $S^{k+1}\iota_n$ est combinaison des $S\mu$, pour les simplexes $\mu$ de $S^k\iota_n$ ; par récurrence sur $k$, et puisque $\Delta_n$ a pour diamètre $d_\infty(e_0, e_1) = 1$ si $n \geqslant 1$, on obtient la borne $\big(\frac n{n+1}\big)^k$. Pour $n = 0$, $\Delta_0$ est un point.