Le théorème des petites chaînes

Un entier attaché à chaque simplexe. Pour $\sigma : \Delta_n \to X$ et $k \in {\mathbb N}$, notons $P(\sigma, k)$ la propriété : toute partie non vide de $\Delta_n$ de diamètre au plus $c_{n,k} = \big(\frac n{n+1}\big)^k$ est contenue dans l'un des ouverts $\sigma^{-1}(U)$, $U \in \mathcal U$.

Ces ouverts recouvrent le compact $\Delta_n$, qui a donc un nombre de Lebesgue $\eta > 0$ (Nombre de Lebesgue) ; comme $0 \leqslant \frac n{n+1} < 1$, $c_{n,k} \to 0$ (Limites infinies, (iv)), et $P(\sigma, k)$ est vraie dès que $c_{n,k} < \eta$.

Soit $m(\sigma)$ le plus petit entier $k$ tel que $P(\sigma, k)$ (Bon ordre sur ℕ). Comme $c_{n,k}$ décroît avec $k$, $P(\sigma, k)$ est vraie pour tout $k \geqslant m(\sigma)$.

Trois propriétés de $m$. (a) Si $P(\sigma, k)$, alors $S^k\sigma \in C^{\mathcal U}(X)$. En effet, $S^k\sigma = \sigma_\#(S^k\iota_n)$ par naturalité (Subdivision barycentrique, (iii)), et chaque simplexe $\mu$ de $S^k\iota_n$ a une image de diamètre au plus $c_{n,k}$ (même nœud, (iv)), contenue dans un $\sigma^{-1}(U)$ : $\sigma \circ \mu$ est à valeurs dans $U$.

(b) Si $\sigma$ est à valeurs dans $U \in \mathcal U$, alors $\Delta_n = \sigma^{-1}(U)$, et $m(\sigma) = 0$.

(c) Si $\tau = \sigma \circ \delta_i$ est une face de $\sigma$, $m(\tau) \leqslant m(\sigma)$. En effet, $\delta_i$, qui insère un $0$, préserve $d_\infty$, et $c_{n-1,k} \leqslant c_{n,k}$ ; une partie $A$ de $\Delta_{n-1}$ de diamètre au plus $c_{n-1,k}$ a donc une image $\delta_i(A)$ de même diamètre, contenue dans un $\sigma^{-1}(U)$ si $P(\sigma, k)$, et $A \subset \tau^{-1}(U)$.

L'opérateur $D$. Posons $$D_k = \sum_{i < k} TS^i.$$ Comme $S$ est un morphisme de complexes et que $\partial T + T\partial = \mathrm{id} - S$ (Subdivision barycentrique, (iii)), $$\begin{aligned} \partial D_k + D_k\partial &= \sum_{i < k} (\partial T + T\partial)S^i \\ &= \sum_{i < k} (S^i - S^{i+1}) = \mathrm{id} - S^k. \end{aligned}$$ On définit $D : C_n(X) \to C_{n+1}(X)$ par $D\sigma = D_{m(\sigma)}\sigma$ sur chaque simplexe, puis par linéarité (Complexes de chaînes, (i)), et $\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$.

$\rho$ est à valeurs dans $C^{\mathcal U}(X)$. Soit $\sigma$ un simplexe, $m = m(\sigma)$, et $\partial\sigma = \sum_i (-1)^i\sigma_i$. D'après l'identité précédente, $$\partial D\sigma = \sigma - S^m\sigma - D_m\partial\sigma,$$ donc $$\begin{aligned} \rho\sigma &= S^m\sigma + \sum_i (-1)^i\big(D_m - D_{m(\sigma_i)}\big)\sigma_i \\ &= S^m\sigma + \sum_i (-1)^i \sum_{m(\sigma_i) \leqslant j < m} TS^j\sigma_i, \end{aligned}$$ puisque $m(\sigma_i) \leqslant m$ par (c).

Le terme $S^m\sigma$ est dans $C^{\mathcal U}(X)$ par (a). Pour $j \geqslant m(\sigma_i)$, $S^j\sigma_i$ y est aussi, par (a), et $T$ conserve $C^{\mathcal U}(X)$, puisque $T\tau$ est une chaîne de l'image de $\tau$ (Subdivision barycentrique, (iii)).

Conclusion. $\rho$ est un morphisme de complexes : $\partial\rho = \partial - \partial D\partial = \rho\partial$.

Si $\sigma \in C^{\mathcal U}(X)$, ses faces y sont aussi, et (b) donne $D\sigma = 0$ et $D\partial\sigma = 0$, d'où $\rho\sigma = \sigma$ : $\rho \circ \jmath = \mathrm{id}$.

Enfin $\jmath \circ \rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$ est homotope à l'identité, et induit l'identité en homologie (Complexes de chaînes, (iii)). Ainsi $\jmath_*$ et $\rho_*$ sont réciproques l'un de l'autre.