Définition 1Homologie

Complexes de chaînes et homologie

Pour un ensemble $S$ , le groupe abélien libre $\mathbb Z^{(S)}$ est l'ensemble des applications $S \to {\mathbb Z}$ nulles hors d'une partie finie ; on identifie $s \in S$ à l'application qui vaut $1$ en $s$ et $0$ ailleurs, de sorte que tout élément s'écrit $\sum n_s s$ , somme finie (Sommes finies).

Un complexe de chaînes $C$ est une suite $(C_n)_{n \in \mathbb Z}$ de groupes abéliens et de morphismes $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ , les bords (ou différentielles) du complexe, tels que $\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0.$ On pose $Z_n = \operatorname{Ker} \partial_n$ (les cycles), $B_n = \operatorname{Im} \partial_{n+1} \subset Z_n$ (les bords), et le groupe d'homologie ${H_n}(C) = Z_n/B_n$ , quotient d'un groupe abélien par un sous-groupe (Groupe quotient).

Un morphisme de complexes $f : C \to D$ est une suite de morphismes $f_n : C_n \to D_n$ tels que $\partial f_n = f_{n-1}\partial$ .

Énoncé

(i) Propriété universelle. Toute application $\varphi : S \to A$ dans un groupe abélien se prolonge en un unique morphisme $\mathbb Z^{(S)} \to A$ .

(ii) Un morphisme de complexes $f$ envoie cycles sur cycles et bords sur bords, et induit des morphismes $f_* : H_n(C) \to H_n(D)$ , avec $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ et $\mathrm{id}_* = \mathrm{id}$ .

(iii) Homotopie de chaînes. S'il existe des morphismes $P_n : C_n \to D_{n+1}$ tels que $\partial P + P\partial = g - f$ , ce qu'on appelle une homotopie de $f$ à $g$ , alors $f_* = g_*$ .

Démonstration

(i) Le prolongement doit envoyer $\sum n_s s$ sur $\sum n_s \varphi(s)$ , où $n\,a$ désigne le multiple entier de $a$ ; cette formule définit un morphisme, par Sommes finies, (ii).

(ii) Si $\partial z = 0$ , $\partial f(z) = f(\partial z) = 0$ ; si $b = \partial c$ , $f(b) = \partial f(c)$ . On pose $f_*[z] = [f(z)]$ , bien défini puisque $f(B_n(C)) \subset B_n(D)$ , où $B_n(C)$ et $B_n(D)$ sont les bords de $C$ et de $D$ . La fonctorialité est immédiate.

(iii) Pour un cycle $z$ , $\begin{aligned} g(z) - f(z) &= \partial P(z) + P(\partial z) \\ &= \partial P(z) \end{aligned}$ est un bord.

□

Remarque

Le premier exemple est le complexe $\cdots \to 0 \to \mathbb Z \xrightarrow{\times 2} \mathbb Z \to 0$ , concentré en degrés $1$ et $0$ : son homologie est nulle en degré $1$ , puisque la multiplication par $2$ est injective, et vaut ${\mathbb Z/2\mathbb Z}$ en degré $0$ . L'homologie mesure à la fois les cycles qui ne sont pas des bords et la torsion, ce qu'aucun invariant à valeurs dans un espace vectoriel réel ne voit.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Lemme du serpent et suite exacte longue Simplexes singuliers et homologie singulière