Lemme du serpent et suite exacte longue

Définition de $\delta$. $p(\partial b) = \partial p(b) = \partial c = 0$, donc $\partial b \in \operatorname{Ker} p = \operatorname{Im} i$, et $a$ est unique par injectivité de $i$. De plus $i(\partial a) = \partial\partial b = 0$, donc $\partial a = 0$.

Deux relèvements de $c$ diffèrent d'un élément de $\operatorname{Ker} p = \operatorname{Im} i$, donc s'écrivent $b$ et $b + i(a')$. Si l'on remplace $b$ par $b + i(a')$, $a$ devient $a + \partial a'$, puisque $\partial i(a') = i(\partial a')$ ; si l'on remplace $c$ par $c + \partial c'$, avec $c' = p(b')$, on peut prendre $b + \partial b'$, et $a$ ne change pas. Donc $\delta$ est bien défini.

C'est un morphisme : si $b_1, b_2$ relèvent $c_1, c_2$, avec $\partial b_1 = i(a_1)$ et $\partial b_2 = i(a_2)$, alors $b_1 + b_2$ relève $c_1 + c_2$ et $\partial(b_1 + b_2) = i(a_1 + a_2)$, d'où $\delta[c_1 + c_2] = [a_1] + [a_2]$.

Aucun axiome du choix n'intervient : la classe $\delta[c]$ ne dépend pas de $b$, dont on affirme seulement l'existence.

Exactitude en $H_n(B)$. Par la fonctorialité du nœud Complexes de chaînes, (ii), $p_* i_* = (p \circ i)_* = 0$. Si $p(b) = \partial c'$ avec $b$ cycle, écrivons $c' = p(b')$ ; alors $b - \partial b' \in \operatorname{Ker} p$, donc $b - \partial b' = i(a)$, avec $a$ cycle par injectivité de $i$, et $[b] = i_*[a]$.

Exactitude en $H_n(C)$. Si $c = p(b)$ avec $b$ cycle, on prend ce $b$ et $\partial b = 0$ : $\delta[c] = 0$. Réciproquement, si $\delta[c] = 0$, $a = \partial a'$, et $b - i(a')$ est un cycle d'image $c$ : $[c] = p_*[b - i(a')]$.

Exactitude en $H_{n-1}(A)$. $i_*\delta[c] = [\partial b] = 0$. Si $i(a) = \partial b$, alors $c = p(b)$ est un cycle, puisque $\partial c = p(i(a)) = 0$, et $\delta[c] = [a]$.