Homologie des sphères

Le cas $n = 0$. Tout simplexe singulier $\sigma : \Delta_k \to S^0 = \{-1, 1\}$ est constant : $\Delta_k$, convexe, est connexe par arcs (Simple connexité), donc connexe (Chemins, (iii)), et son image, connexe, est contenue dans l'un des deux points, ouverts dans $S^0$. Ainsi $C(S^0) = C(\{-1\}) \oplus C(\{1\})$, somme directe de complexes dont le bord agit composante par composante, et l'homologie de $S^0$ est la somme directe de celles de deux points (Degré 0, point, (i)).

Les ouverts. Pour $n \geqslant 1$, soit $N = (0, \dots, 0, 1)$, $S = -N$, $U = S^n \setminus \{N\}$ et $V = S^n \setminus \{S\}$. La projection stéréographique $$x \mapsto \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$$ est un homéomorphisme de $U$ sur $\mathbb R^n$, de réciproque $$z \mapsto \frac{\big(2z, \|z\|^2 - 1\big)}{\|z\|^2 + 1},$$ toutes deux continues comme composées d'opérations continues ; que chacune prenne ses valeurs dans l'ensemble d'arrivée annoncé et qu'elles soient réciproques l'une de l'autre est vérifié en détail au nœud Sphères Sⁿ, n ⩾ 2, dont le calcul vaut pour tout $n \geqslant 1$. Donc $U$, et de même $V$, ont l'homologie d'un point (Invariance par homotopie).

L'intersection. $U \cap V$ contient l'équateur $S^{n-1} \times \{0\}$, et $$r(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n, 0)}{\|(x_1, \dots, x_n)\|}$$ est bien défini sur $U \cap V$, puisque $x \neq \pm N$.

On a $r \circ \iota = \mathrm{id}$, où $\iota$ est l'inclusion de l'équateur, et $\iota \circ r$ est homotope à l'identité de $U \cap V$ par $$\begin{aligned} &F(x, t) \\ &\quad = \frac{\big(x_1, \dots, x_n, (1 - t)x_{n+1}\big)}{\|(x_1, \dots, x_n, (1 - t)x_{n+1})\|}, \end{aligned}$$ qui reste dans $U \cap V$. Donc $U \cap V$ a l'homologie de $S^{n-1}$.

Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris). Pour $k \geqslant 2$, $H_k(U) \oplus H_k(V) = 0$ et $H_{k-1}(U) \oplus H_{k-1}(V) = 0$, donc $\delta : H_k(S^n) \to H_{k-1}(S^{n-1})$ est un isomorphisme.

En degrés bas, la suite se termine par $$\begin{aligned} 0 \to H_1(S^n) &\to H_0(U \cap V) \\ &\to \mathbb Z \oplus \mathbb Z \to H_0(S^n) \to 0. \end{aligned}$$

Pour $n = 1$, $U \cap V$ a deux composantes, $H_0(U \cap V) \cong \mathbb Z^2$, la flèche suivante envoie $(a, b)$ sur $(a + b, a + b)$, de noyau isomorphe à $\mathbb Z$, et $H_1(S^1) \cong \mathbb Z$.

Pour $n \geqslant 2$, $U \cap V$ est connexe par arcs : l'équateur, homéomorphe à $S^{n-1}$, l'est par l'hypothèse de récurrence, et chaque $x \in U \cap V$ est relié au point $r(x)$ de l'équateur par le chemin $t \mapsto F(x, t)$. Donc $H_0(U \cap V) \cong \mathbb Z$ (Degré 0, point, (ii)), la flèche $\mathbb Z \to \mathbb Z^2$, $a \mapsto (a, a)$, est injective, et $H_1(S^n) = 0$.

Dans tous les cas, $S^n$ est connexe par arcs. En effet, $U$ et $V$, homéomorphes à $\mathbb R^n$, qui est convexe, sont connexes par arcs (Simple connexité), et ils se rencontrent, puisque $U \cap V$ contient l'équateur ; deux points de $S^n$ se relient donc en passant par un point de $U \cap V$, par concaténation (Chemins, (ii)).

Ainsi $H_0(S^n) \cong \mathbb Z$ (Degré 0, point, (ii)), ce que confirme la suite exacte : dans les deux cas, l'image de $H_0(U \cap V)$ dans $\mathbb Z \oplus \mathbb Z$ est la diagonale, et $H_0(S^n) \cong \mathbb Z^2/\{(a, a)\} \cong \mathbb Z$. Une récurrence sur $n$ conclut, l'hypothèse de récurrence portant sur l'homologie de $S^{n-1}$ et sur sa connexité par arcs.