Les sphères de dimension au moins 2 sont simplement connexes

Notons $\|y\|^2 = y_1^2 + \cdots + y_n^2$ pour $y \in {\mathbb R^n}$, et de même $\|x\|^2 = x_1^2 + \cdots + x_{n+1}^2$ pour $x \in \mathbb R^{n+1}$, $N = (0, \dots, 0, 1)$ et $S = -N$ ; on écrit $x = (x', x_{n+1})$ un point de $\mathbb R^{n+1}$, avec $x' \in \mathbb R^n$.

Projection stéréographique. Les applications $$\begin{aligned} \sigma(x) &= \frac{x'}{1 - x_{n+1}}, \\ \tau(y) &= \Big(\frac{2y}{\|y\|^2 + 1}, \frac{\|y\|^2 - 1}{\|y\|^2 + 1}\Big) \end{aligned}$$ sont continues, de $S^n \setminus \{N\}$ dans $\mathbb R^n$ et de $\mathbb R^n$ dans $S^n \setminus \{N\}$. En effet, leurs coordonnées sont des quotients de fonctions polynomiales (Sphère unité Sⁿ, (i)) par des fonctions qui ne s'annulent pas, et $u \mapsto \frac1u$ est continue sur $\mathbb R \setminus \{0\}$ (Limite en un point, (ii) et (iv)).

Elles sont réciproques l'une de l'autre. D'une part $\|\tau(y)\|^2 = 1$ et $\tau(y)_{n+1} \neq 1$, et $1 - \tau(y)_{n+1} = \frac{2}{\|y\|^2 + 1}$ donne $\sigma(\tau(y)) = y$. D'autre part, si $x \in S^n \setminus \{N\}$ et $y = \sigma(x)$, alors $\|y\|^2 = \frac{1 - x_{n+1}^2}{(1 - x_{n+1})^2} = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}}$, d'où $\|y\|^2 + 1 = \frac{2}{1 - x_{n+1}}$, et l'on trouve $\tau(y) = x$.

Les ouverts. Soient $U = S^n \setminus \{N\}$ et $V = S^n \setminus \{S\}$, ouverts puisque les points sont fermés. L'espace $U$ est homéomorphe à $\mathbb R^n$, qui est convexe, donc simplement connexe (Simple connexité, Fonctorialité) ; il en va de même de $V$, image de $U$ par l'homéomorphisme $(x', x_{n+1}) \mapsto (x', -x_{n+1})$.

L'intersection. Comme $\sigma(S) = 0$, l'homéomorphisme $\sigma$ envoie $U \cap V$ sur $\mathbb R^n \setminus \{0\}$, qu'il suffit de montrer connexe par arcs. Soient $a, b \neq 0$. Si le segment $[a, b]$ évite $0$, il convient.

Sinon, $b$ est un multiple de $a$. Comme $n \geqslant 2$, l'un des vecteurs de base $e_1, e_2$ n'est pas multiple de $a$ ; notons-le $c$. Le segment $[a, c]$ évite $0$, car $(1 - t)a + tc = 0$ forcerait $t \neq 0$, puis $c = -\frac{1 - t}{t}a$ ; de même pour $[c, b]$. Le chemin qui suit $[a, c]$ puis $[c, b]$ convient.

Conclusion. Le théorème du nœud Engendrement s'applique : $S^n$ est connexe par arcs et simplement connexe.