Théorème 5Théorème de Seifert-van Kampen

Le groupe fondamental du tore est ℤ²

Énoncé

Le morphisme de $F(a, b)$ dans ${\pi_1}(T, (e, e))$ qui envoie les lettres $a$ et $b$ sur les classes des lacets $a$ et $b$ est surjectif, de noyau le sous-groupe distingué engendré par $aba^{-1}b^{-1}$ . Par suite, $\pi_1(T) \cong \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle \cong {\mathbb Z^2}.$

Démonstration

Les ouverts. Avec les notations du nœud Ouverts du tore, $U$ et $V$ sont ouverts, $U \cup V = T$ , puisque $q \in V$ , et $x_0 \in U \cap V$ . L'espace $U$ est connexe par arcs, comme $W$ dont il est un rétracte (Rétractes par déformation, (ii)), et $V$ , $U \cap V$ le sont.

L'image du petit lacet. Soit $K(s, t) = H(P(\lambda(s)), t)$ . Pour $t = 0$ , c'est $P \circ \lambda$ . Pour $t = 1$ , comme $\|\lambda(s) - c\|_\infty = \frac14$ , on a $r(\lambda(s)) = c + 2(\lambda(s) - c)$ , qui parcourt le bord de $C$ de $(0, 0)$ à $(1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(0, 1)$ et retour, et donc $P \circ r \circ \lambda = a \star b \star \bar a \star \bar b.$

Le tore est le carré

C

dont on identifie les côtés opposés : les côtés horizontaux deviennent le lacet

a

, les côtés verticaux le lacet

b

. Le petit lacet

\lambda

, en rouge, entoure le point

q

retiré. La rétraction

H

pousse chaque point le long de la demi-droite issue du centre, en gris, jusqu'au bord : elle envoie

\lambda

sur le bord parcouru dans l'ordre

a

b

a

à l'envers,

b

à l'envers, tandis que le point de base

x_0

glisse jusqu'au coin le long du chemin

\delta

, en bleu.

Pour $s = 0$ et $s = 1$ , $K(s, t) = P\big(\frac{1 - t}4, \frac{1 - t}4\big) = \delta(t)$ , chemin de $x_0$ à $(e, e)$ dans $U$ . Le lemme du carré (Rétractes par déformation, (i)) donne, dans $U$ , $P \circ \lambda \simeq \delta \cdot (a \star b \star \bar a \star \bar b) \cdot \bar\delta.$

Le groupe de $U$ . Soit $\Theta : F(a, b) \to \pi_1(U, (e, e))$ le morphisme qui envoie $a$ et $b$ sur les classes des lacets $a$ et $b$ . C'est un isomorphisme, composé de celui du nœud Bouquet de deux cercles et de celui qu'induit l'inclusion de $W$ dans $U$ . Soit $\beta$ l'isomorphisme $[\gamma] \mapsto [\delta \cdot \gamma \cdot \bar\delta]$ de $\pi_1(U, (e, e))$ sur $\pi_1(U, x_0)$ (Fonctorialité, (ii)).

Par le point (i) du nœud Découpage, la relation précédente s'écrit $i_U([P \circ \lambda]) = \beta\big(\Theta(aba^{-1}b^{-1})\big).$

Seifert-van Kampen. Comme $V$ est simplement connexe et que $\pi_1(U \cap V, x_0)$ est engendré par $[P \circ \lambda]$ , le point (iii) du nœud Seifert-van Kampen montre que $j_U : \pi_1(U, x_0) \to \pi_1(T, x_0)$ est surjectif, de noyau $N(\{\beta\Theta(aba^{-1}b^{-1})\}) = \beta\Theta\big(N(\{aba^{-1}b^{-1}\})\big)$ (Présentations, (i)).

Soit $j'_U : \pi_1(U, (e, e)) \to \pi_1(T, (e, e))$ le morphisme induit par l'inclusion, et $\beta_T$ le changement de point de base par $\delta$ dans $T$ , défini comme $\beta$ . Par leurs formules, $j_U \circ \beta = \beta_T \circ j'_U$ .

Le morphisme de l'énoncé est $j'_U \circ \Theta = \beta_T^{-1} \circ j_U \circ \beta \circ \Theta$ . Il est surjectif comme $j_U$ , et son noyau est $(\beta\Theta)^{-1}(\operatorname{Ker} j_U) = N(\{aba^{-1}b^{-1}\})$ .

Conclusion. Par le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme), $\pi_1(T, (e, e)) \cong \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle$ , isomorphe à $\mathbb Z^2$ (Présentations, (iii)).

□

Remarque

Le commutateur $aba^{-1}b^{-1}$ , non trivial dans le bouquet (Bouquet de deux cercles), devient trivial dans le tore : le carré $C$ remplit le lacet $a \cdot b \cdot \bar a \cdot \bar b$ , qui en est le bord. Recoller le carré le long de ce lacet tue exactement le sous-groupe distingué engendré par sa classe, et rien de plus : c'est le contenu du point (iii) du théorème de Seifert-van Kampen.

Remarque

On retrouve le même groupe par un argument direct. Pour deux espaces $X$ et $Y$ , l'application $[\gamma] \mapsto ([p_X \circ \gamma], [p_Y \circ \gamma])$ est un morphisme de $\pi_1(X \times Y)$ dans $\pi_1(X) \times \pi_1(Y)$ ; sa réciproque envoie un couple de classes $([\gamma_1], [\gamma_2])$ sur la classe de $s \mapsto (\gamma_1(s), \gamma_2(s))$ , bien définie puisqu'un couple d'homotopies est une homotopie dans le produit. Pour $X = Y = S^1$ , on obtient $\mathbb Z \times \mathbb Z$ .

Remarque

Le tore n'est homéomorphe ni à la sphère $S^2$ , simplement connexe (Sphères Sⁿ, n ⩾ 2), ni au bouquet, de groupe non commutatif, ni au cercle : $\mathbb Z^2$ n'est pas engendré par un seul élément : si $(1, 0) = k(m, n)$ et $(0, 1) = k'(m, n)$ , la première égalité donne $n = 0$ et $m = \pm 1$ , et la seconde devient impossible.

Remarque

La même méthode, appliquée au carré dont on identifie chaque point du bord à son symétrique par rapport au centre, donne le plan projectif réel, de groupe fondamental $\langle a \mid a^2 \rangle \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ (Présentations, (iv)) : le bord est parcouru deux fois dans le même sens. Ce calcul est admis ici ; il demande de montrer que ce quotient du carré est séparé et de reprendre pour lui les arguments du nœud Ouverts du tore. Pour $\mathbb RP^2$ défini comme quotient de la sphère $S^2$ par $x \sim -x$ , le même groupe est obtenu par les revêtements, au nœud Espaces projectifs. De même, la surface fermée orientable à $g$ trous, recollement d'un polygone à $4g$ côtés, a pour groupe fondamental $\langle a_1, b_1, \dots, a_g, b_g \mid a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1} \rangle$ , admis ici également.

Repose sur

Le tore, recollement du carré

Sert à

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