Sous-groupe distingué engendré, présentations

(i) Une intersection de sous-groupes distingués est un sous-groupe (Sous-groupe, (ii)), stable par conjugaison : c'est le plus petit sous-groupe distingué contenant $A$.

Soit $C$ le sous-groupe engendré par les conjugués des éléments de $A$. Il est contenu dans $N(A)$, qui contient ces conjugués. Pour $g \in G$, la conjugaison $c_g : x \mapsto gxg^{-1}$ est un morphisme, et $c_g^{-1}(C)$ est un sous-groupe (Morphisme, (iii)) qui contient les conjugués des éléments de $A$, puisque $c_g$ envoie un conjugué sur un conjugué ; il contient donc $C$, c'est-à-dire $c_g(C) \subset C$. Ainsi $C$ est distingué, contient $A$, et $N(A) \subset C$.

Si $A \subset B \subset N(A)$, alors $N(A)$ est un sous-groupe distingué qui contient $B$, donc $N(B) \subset N(A)$ ; l'inclusion inverse vient de $A \subset B$. Enfin un isomorphisme $f$ met en bijection les sous-groupes distingués de $G$ qui contiennent $A$ et ceux de $G'$ qui contiennent $f(A)$.

(ii) Le noyau de $\bar\varphi$ (Groupe libre, (ii)) est un sous-groupe distingué (Sous-groupe distingué, (iii)) qui contient $R$, donc $N(R)$. Le morphisme $\bar\varphi$ se factorise par le quotient (Théorème d'isomorphisme), et la factorisation envoie la classe de $[s]$ sur $\varphi(s)$.

Le quotient est engendré par les images des $[s]$, puisque $F(S)$ l'est par les $[s]$ et que la projection est un morphisme surjectif ; l'unicité s'ensuit comme au nœud Groupe libre.

(iii) Le groupe $\mathbb Z^2$ est muni de l'addition coordonnée par coordonnée, qui en fait un groupe commutatif. Notons $Q$ le groupe présenté, $A$ et $B$ les classes de $a$ et de $b$, et $\bar\theta : Q \to \mathbb Z^2$ le morphisme fourni par (ii), qui existe parce que $\mathbb Z^2$ est commutatif. Dans $Q$, la relation donne $AB = BA$.

L'ensemble des éléments de $Q$ qui commutent avec $A$ est un sous-groupe, qui contient $B$, donc toutes les puissances $B^n$ : son image réciproque par le morphisme $n \mapsto B^n$ (Groupe libre, (iii)) est un sous-groupe de $\mathbb Z$ qui contient $1$, donc $\mathbb Z$ tout entier, puisque $\mathbb Z$ est engendré par $1$ (même nœud, (i) et (iii)). De même, les $A^m$ commutent avec chaque $B^n$.

L'application $\mu(m, n) = A^m B^n$ est donc un morphisme de $\mathbb Z^2$ dans $Q$ : $$\begin{aligned} A^m B^n A^{m'} B^{n'} &= A^m A^{m'} B^n B^{n'} \\ &= A^{m + m'} B^{n + n'}. \end{aligned}$$

On a $\bar\theta(A^m) = \bar\theta(A)^m = (m, 0)$, puisque $m \mapsto (m, 0)$ est le morphisme de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z^2$ qui envoie $1$ sur $(1, 0)$ ; de même pour $B$. Donc $\bar\theta \circ \mu = \mathrm{id}$.

Les morphismes $\mu \circ \bar\theta$ et $\mathrm{id}_Q$ coïncident en $A$ et en $B$, qui engendrent $Q$ : ils sont égaux, et $\bar\theta$ est un isomorphisme de réciproque $\mu$.

(iv) Soit $\theta : F(\{a\}) \to \mathbb Z$ l'isomorphisme du nœud Groupe libre, (iii) ; il envoie $[a]^n$ sur $n$. Par (i), $\theta(N([a]^n))$ est le sous-groupe distingué de $\mathbb Z$ engendré par $n$. Comme $\mathbb Z$ est commutatif, c'est le plus petit sous-groupe contenant $n$, à savoir $n\mathbb Z$, qui est un sous-groupe et qui est contenu, par récurrence, dans tout sous-groupe contenant $n$.

L'isomorphisme $\theta$ induit donc un isomorphisme de $F(\{a\})/N([a]^n)$ sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$ (Théorème d'isomorphisme, appliqué à la composée de $\theta$ et de la projection, de noyau $\theta^{-1}(n\mathbb Z) = N([a]^n)$).