ChapitreTopologie algébrique

Théorème de Seifert-van Kampen

Le théorème de Seifert-van Kampen calcule le groupe fondamental d'un espace réunion de deux ouverts connexes par arcs, d'intersection connexe par arcs, à partir de ceux des deux ouverts et de leur intersection : c'est leur produit amalgamé. Le chapitre construit d'abord les objets algébriques nécessaires, que la théorie des structures algébriques, construite avant les entiers, ne pouvait pas fournir : les groupes libres, par les mots réduits et l'action de van der Waerden, qui établit l'unicité de la forme réduite ; les présentations par générateurs et relations ; le produit libre et le produit amalgamé, avec leurs propriétés universelles.

La démonstration découpe les lacets et les homotopies par le nombre de Lebesgue, comme pour les revêtements : la surjectivité vient du découpage des lacets, l'injectivité d'une grille de petits carrés parcourue par des escaliers. Les applications sont la simple connexité des sphères $S^n$ pour $n \geqslant 2$, le groupe fondamental du bouquet de deux cercles, libre à deux générateurs, et celui du tore, $\langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle \cong \mathbb Z^2$. Aucune forme de l'axiome du choix n'intervient : les seuls choix sont en nombre fini.