ChapitreTopologie algébrique

Classification des revêtements

Le groupe fondamental de la base agit sur chaque fibre d'un revêtement, en envoyant un point sur l'extrémité du relèvement d'un lacet. Le chapitre en tire l'injectivité du morphisme induit par un revêtement, la fibre identifiée à l'ensemble des classes à droite de son image, et le critère de relèvement d'une application ; puis les morphismes et les automorphismes de revêtements, avec l'isomorphisme $\operatorname{Aut}(E/B) \cong N_G(H)/H$, où $N_G(H)$ est le normalisateur du sous-groupe $H$, et les revêtements galoisiens, ceux dont le sous-groupe est distingué.

Pour une base connexe, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe, il construit, pour chaque sous-groupe $H$ du groupe fondamental, un revêtement dont les points sont les chemins issus du point base, à une équivalence près qui dépend de $H$ ; pour $H$ trivial, c'est le revêtement universel. Il en déduit la classification : les revêtements connexes pointés correspondent, à isomorphisme près, aux sous-groupes du groupe fondamental. Les exemples sont les revêtements du cercle, le tore déroulé sur le plan, les espaces projectifs réels $\mathbb RP^n$, $n \geqslant 2$, dont le groupe fondamental est $\mathbb Z/2\mathbb Z$, et le bouquet de deux cercles, qui a un revêtement non galoisien à trois feuillets. Aucune forme de l'axiome du choix n'intervient : la topologie du revêtement construit est définie par tous les voisinages possibles, sans en choisir un par point.