Espaces localement connexes par arcs

(i) Soit $y \in O_x$, et $W$ un ouvert connexe par arcs tel que $y \in W \subset O$. Tout point $z$ de $W$ est relié à $y$ dans $W$, donc à $x$ dans $O$, en mettant bout à bout un chemin de $x$ à $y$ dans $O$ et un chemin de $y$ à $z$ dans $W$ (Chemins, (ii)). Ainsi $W \subset O_x$, et $O_x$, voisinage de chacun de ses points, est ouvert (Voisinages).

Prenons $O = X$, supposé connexe et non vide, et $x \in X$. Les ensembles $X_y$, pour $y \notin X_x$, sont ouverts et disjoints de $X_x$, puisqu'un point commun relierait $y$ à $x$ ; leur réunion est le complémentaire de $X_x$, qui est donc ouvert.

L'ensemble $X_x$ est ainsi ouvert, fermé et non vide, donc égal à $X$ (Connexité, (b)) : tout point est relié à $x$. L'espace vide est connexe par arcs.

(ii) Soient $x \in X$, $V$ un voisinage de $x$, $O''$ un ouvert tel que $x \in O'' \subset V$, et $h : O' \to \Omega$ un homéomorphisme d'un voisinage ouvert $O'$ de $x$ sur un ouvert $\Omega$ d'un espace $Y$ localement connexe par arcs.

L'ensemble $h(O' \cap O'')$ est ouvert dans $\Omega$, donc dans $Y$, puisque $\Omega$ est ouvert (Topologie induite). Il contient un ouvert $P$ connexe par arcs qui contient $h(x)$. Alors $h^{-1}(P)$ est ouvert dans $O'$, donc dans $X$, contient $x$, est contenu dans $V$, et il est connexe par arcs : l'image d'un chemin par $h^{-1}$ est un chemin.

Un ouvert d'un espace localement connexe par arcs vérifie l'hypothèse avec l'identité. Dans $\mathbb R^n$, muni de $d_\infty$, les boules $B_\infty(a, r)$ sont des produits d'intervalles, donc convexes et connexes par arcs (Simple connexité), et tout voisinage de $a$ en contient une (L'espace ℝⁿ, (i)) : $\mathbb R^n$ est localement connexe par arcs.

Si $C$ est une partie convexe de $\mathbb R^n$ et $a \in C$, tout voisinage de $a$ dans $C$ contient une partie $C \cap B_\infty(a, r)$, ouverte dans $C$ (Topologie induite) ; elle est convexe, comme intersection de deux convexes, donc connexe par arcs. Ainsi $C$ est localement connexe par arcs.

Enfin $S^n$ est la réunion des ouverts $S^n \setminus \{N\}$ et $S^n \setminus \{S\}$, homéomorphes à $\mathbb R^n$ par la projection stéréographique ; la démonstration du nœud Sphères Sⁿ, n ⩾ 2 établit ces homéomorphismes sans se servir de $n \geqslant 2$.

(iii) Supposons $B$ localement connexe par arcs. Pour $e \in E$, soit $U$ un ouvert uniformément couvert contenant $p(e)$, et $S$ le feuillet qui contient $e$ : c'est un voisinage ouvert de $e$, homéomorphe par $p$ à l'ouvert $U$ de $B$, et l'on applique (ii).

Réciproquement, supposons $E$ localement connexe par arcs. Pour $b \in B$, soit $U$ un ouvert uniformément couvert contenant $b$. Comme $p$ est surjective, $b = p(e)$ pour un point $e$ de $p^{-1}(U)$, qui appartient à un feuillet $S$ ; la réciproque de $p|_S$ est un homéomorphisme de $U$ sur l'ouvert $S$ de $E$, et l'on applique (ii).