Critère de relèvement d'une application

Unicité et nécessité. L'unicité vient du nœud Revêtements, $Y$ étant connexe. Si $\tilde f$ existe, alors $f_* = p_* \circ \tilde f_*$ (Fonctorialité, (i)), et l'image de $f_*$ est contenue dans celle de $p_*$.

Un point bien défini. Supposons l'inclusion vraie. Pour un chemin $\alpha$ de $Y$ issu de $y_0$, notons $e(\alpha)$ l'extrémité du relèvement de $f \circ \alpha$ issu de $e_0$. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux chemins de $y_0$ à un même point $y$, et $e' = e(\alpha)$.

Le lacet $\alpha \cdot \bar\beta$ a une classe dans $\pi_1(Y, y_0)$ ; celle de son image $(f \circ \alpha) \cdot (f \circ \bar\beta)$ est donc dans $p_*(\pi_1(E, e_0))$, et son relèvement issu de $e_0$ est un lacet (Action sur la fibre, (ii)).

Ce relèvement parcourt le relèvement de $f \circ \alpha$ issu de $e_0$, puis le relèvement $\mu$ de $f \circ \bar\beta$ issu de $e'$ ; ainsi $\mu$ se termine en $e_0$. Le chemin inverse $\bar\mu$ part de $e_0$ et relève $f \circ \beta$ : c'est le relèvement de $f \circ \beta$ issu de $e_0$, et il se termine en $\mu(0) = e'$. Donc $e(\beta) = e(\alpha)$.

Définition de $\tilde f$. La relation $$\begin{aligned} \{(y, e) \in Y \times E :\ &\text{il existe un} \\ &\text{chemin } \alpha \text{ de } y_0 \text{ à } y \\ &\text{tel que } e = e(\alpha)\} \end{aligned}$$ est donc le graphe d'une application $\tilde f : Y \to E$, définie partout puisque $Y$ est connexe par arcs, sans qu'aucun chemin soit choisi. On a $p \circ \tilde f = f$, puisque $e(\alpha)$ est au-dessus de $f(\alpha(1))$, et $\tilde f(y_0) = e_0$, par le chemin constant.

Continuité. Soient $y \in Y$, $\alpha$ un chemin de $y_0$ à $y$, $U$ un ouvert uniformément couvert contenant $f(y)$, et $S$ le feuillet qui contient $\tilde f(y)$. Comme $Y$ est localement connexe par arcs, il existe un ouvert $V$ connexe par arcs tel que $y \in V \subset f^{-1}(U)$.

Pour $y' \in V$, soit $\beta$ un chemin de $y$ à $y'$ dans $V$. Le relèvement de $f \circ (\alpha \cdot \beta)$ issu de $e_0$ parcourt celui de $f \circ \alpha$, jusqu'à $\tilde f(y)$, puis le relèvement de $f \circ \beta$ issu de $\tilde f(y)$. Ce dernier est le chemin $(p|_S)^{-1} \circ f \circ \beta$, continu, à valeurs dans $S$, qui part de $\tilde f(y)$ et relève $f \circ \beta$. Il vient $$\tilde f(y') = (p|_S)^{-1}\big(f(y')\big).$$

Ainsi $\tilde f$ coïncide sur l'ouvert $V$ avec l'application continue $(p|_S)^{-1} \circ f$ : elle est continue en chaque point, donc continue.

(ii) Le groupe $\pi_1(Y, y_0)$ est trivial, et son image aussi.