Proposition 4Classification des revêtements

Morphismes de revêtements

Soient $p_1 : E_1 \to B$ et $p_2 : E_2 \to B$ deux revêtements de la même base. Un morphisme de $p_1$ dans $p_2$ est une application continue $\varphi : E_1 \to E_2$ telle que $p_2 \circ \varphi = p_1$ ; c'est un isomorphisme s'il est bijectif et si $\varphi^{-1}$ est continue, auquel cas $\varphi^{-1}$ est un morphisme de $p_2$ dans $p_1$ .

Un revêtement pointé de $(B, b_0)$ est un revêtement muni d'un point de la fibre au-dessus de $b_0$ . Pour des revêtements pointés $(E_1, e_1)$ et $(E_2, e_2)$ , on note $H_i = p_{i*}({\pi_1}(E_i, e_i))$ .

Énoncé

(i) Un morphisme $\varphi$ envoie la fibre de $p_1$ au-dessus de $b_0$ dans celle de $p_2$ , et $\varphi(e \cdot g) = \varphi(e) \cdot g$ pour tous $e$ et $g \in \pi_1(B, b_0)$ . Si $E_1$ est connexe, deux morphismes qui coïncident en un point sont égaux.

(ii) Si $E_1$ est connexe et localement connexe par arcs, il existe un morphisme $\varphi$ tel que $\varphi(e_1) = e_2$ si et seulement si $H_1 \subset H_2$ .

(iii) Si $E_1$ et $E_2$ sont connexes et localement connexes par arcs, il existe un isomorphisme $\varphi$ tel que $\varphi(e_1) = e_2$ si et seulement si $H_1 = H_2$ . Il existe un isomorphisme de $p_1$ sur $p_2$ si et seulement si $H_1$ et $H_2$ sont conjugués dans $\pi_1(B, b_0)$ .

Démonstration

(i) On a $p_2(\varphi(e)) = p_1(e) = b_0$ . Si $g = [\gamma]$ , le chemin $\varphi \circ \tilde\gamma_e$ part de $\varphi(e)$ , et $p_2 \circ \varphi \circ \tilde\gamma_e = p_1 \circ \tilde\gamma_e = \gamma$ : c'est le relèvement de $\gamma$ à $E_2$ issu de $\varphi(e)$ , dont l'extrémité est à la fois $\varphi(e) \cdot g$ et $\varphi(\tilde\gamma_e(1)) = \varphi(e \cdot g)$ .

Deux morphismes sont deux relèvements de $p_1$ au revêtement $p_2$ ; s'ils coïncident en un point, ils sont égaux (Revêtements).

(ii) Les morphismes $\varphi$ tels que $\varphi(e_1) = e_2$ sont les relèvements de $p_1$ au revêtement $p_2$ qui envoient $e_1$ sur $e_2$ . Par le critère de relèvement (Critère de relèvement), appliqué à $Y = E_1$ et $f = p_1$ , il en existe si et seulement si $p_{1*}(\pi_1(E_1, e_1)) \subset p_{2*}(\pi_1(E_2, e_2))$ .

(iii) Si $H_1 = H_2$ , le point (ii) fournit des morphismes $\varphi$ de $(E_1, e_1)$ dans $(E_2, e_2)$ et $\psi$ en sens inverse. La composée $\psi \circ \varphi$ est un morphisme de $p_1$ dans lui-même qui fixe $e_1$ , comme l'identité : elle lui est égale par (i). De même $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}$ , et $\varphi$ est un isomorphisme.

Réciproquement, un isomorphisme $\varphi$ tel que $\varphi(e_1) = e_2$ et sa réciproque sont des morphismes qui échangent $e_1$ et $e_2$ ; par (ii), $H_1 \subset H_2$ et $H_2 \subset H_1$ .

Pour la dernière affirmation, $E_2$ est connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (i)). Si $\varphi$ est un isomorphisme, $H_1 = p_{2*}(\pi_1(E_2, \varphi(e_1)))$ par ce qui précède, et c'est un conjugué de $H_2$ (Fibre et indice, (ii)).

Réciproquement, si $H_1 = g^{-1}H_2\,g$ , alors $H_1 = p_{2*}(\pi_1(E_2, e_2 \cdot g))$ par le même point, et il existe un isomorphisme qui envoie $e_1$ sur $e_2 \cdot g$ .

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Remarque

Le point (i) exprime une rigidité : un morphisme entre revêtements connexes est déterminé par l'image d'un seul point. C'est l'unicité des relèvements, appliquée à $p_1$ lui-même ; elle ne demande aucune hypothèse locale.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que deux revêtements connexes qui ont le même nombre de feuillets sont isomorphes. Le tore en donne deux, à deux feuillets chacun, qui ne le sont pas (Tore) : c'est le sous-groupe, à conjugaison près, qui classe les revêtements, et non le seul indice.

Repose sur

Critère de relèvement d'une application La fibre, l'indice et les conjugués

Sert à

Automorphismes d'un revêtement Existence du revêtement universel